Seja r(t) = 2 \* cos(wt) i + 4 \* sen(wt) j , onde w é uma constante não nula. Mostrar que

(d^2 \vec{r}) / (d t^2) = - w^2 \vec{r}

Passo 1

A enunciado nos pede para mostrar que a segunda derivada de r → t vale - w 2 r → . Então vamos calcular as derivadas e verificar que isso é verdade. Mas antes vamos lembrar de algumas derivadas importantes:

s e n a x ' = acos ⁡ a x

c o s a x ' = - a s e n ( a x )

Repare que não podemos nos esquecer da regra de cadeia!

r → t = 2 cos ⁡ w t i → + 4 s e n w t j →

Passo 2

r → t = 2 cos ⁡ w t i → + 4 s e n w t j →

Derivando pela primeira vez:

d r → d t = 2 - w s e n w t i → + 4 w c o s w t j →

Assim,

d r → d t = - 2 w s e n w t i → + 4 w c o s w t j →

Passo 3

Derivando a expressão de d r → d t em relação ao tempo:

d 2 r → d t 2 = - 2 w w c o s w t i → + 4 w w - s e n w t j →

Isto é,

d 2 r → d t 2 = - 2 w 2 c o s w t i → - 4 w 2 s e n w t j →

Colocando - w 2 em evidencia:

d 2 r → d t 2 = - w 2 2 c o s w t i → + 4 s e n w t j →

Como r → t = 2 cos ⁡ w t i → + 4 s e n w t j → :

d 2 r → d t 2 = - w 2   r → t

Portanto, mostramos o que ele nos pede 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados