Caso Vetorial
Teoria
Integral de Superfície – campo vetorial
Para definirmos as integrais de superfície de campos vetoriais precisamos, antes de tudo, interpretar uma superfície de forma vetorial. Como fazer isso? Vamos tomar uma superfície que seja regular. Definimos, em todos os pontos de , vetores perpendiculares à superfície, gerando um campo vetorial.
Já vimos que o produto vetorial representa um vetor normal à superfície parametrizada por , certo? Assim, se quisermos um campo de vetores normais unitários, basta dividirmos essa expressão pelo módulo desse vetor, dessa forma:
Mas, se você pensar bem, para cada ponto, há dois vetores perpendiculares à superfície, não é? Um oposto ao outro. Nesse caso, temos dois campos vetoriais, e , com
Se fixarmos sobre um desses campos vetoriais unitários, dizemos, então que temos uma superfície orientada pelo campo vetorial .
Então, sendo um campo contínuo, definido sobre a superfície , definimos a integral de superfície de sobre dessa forma:
Veja que se trata de um produto escalar, portanto, resulta em um número! Essa função escalar nos fornece a componente do campo na direção do vetor , como uma projeção.
Ótimo, agora precisamos saber como calcular essa integral, certo? Nós já vimos que o diferencial de área pode ser substituído por , vamos fazer isso. Substituiremos, também, a expressão que definimos para .
Ou seja, não precisamos sempre calcular a normal unitária! A normal
É suficiente para calcular a integral do campo sobre a superfície!
Na verdade, essa fórmula é muito parecida com a que vimos para as integrais de superfície escalares, a grande diferença é que não tiramos o módulo do vetor normal .
Observação: Existe outra forma de escrever a integral de superfície de um campo vetorial , apredemos que ele é definda como
Mas, sendo o campo , definimos a integral de superfície como
Interpretação física - Fluxo
Para que serve, então, a integral de superfície de um campo vetorial?
Vamos tomar novamente a nossa superfície e, agora, vamos imaginar um fluido escoando através dela. Suponha um campo vetorial que nos fornece em cada ponto a velocidade de escoamento do fluido. Queremos calcular, então, o fluxo através da superfície .
Se analisarmos um ponto qualquer, o vetor possui uma componente perpendicular e uma paralela à superfície. Pelo conceito de fluxo, a taxa de escoamento por unidade de tempo, sabemos que apenas a componente perpendicular de contribui para o fluxo sobre , pois representa a velocidade de entrada ou de saída do fluido. Sendo assim, faremos o produto escalar para obter essa projeção (lembre-se de que é um vetor unitário).
O volume que passa através de por unidade de tempo é dado, então, pelo produto entre essa componente da velocidade e a área da superfície:
Da mesma forma que fizemos nos capítulos anteriores, dividimos em retalhos e obtemos a Soma de Riemann. Tomando o limite dessa soma, chegamos à integral de superfície:
Vamos ver um exemplo agora para entender melhor isso tudo.
Exemplo: Calcule o fluxo do campo vetorial sobre a parte da superfície dada por que é limitada pelos planos e e orientada com a normal apontando para fora de .
Passo 1: Vamos fazer um gráfico para visualizar a superfície
Temos um cilindro cortado nas alturas e , como podemos ver. Representamos o campo vetorial que orienta a superfície por um de seus vetores:
Passo 2: Parametrizar
Como se trata de um cilindro, utilizaremos as coordenadas cilíndricas , e . Como o seu raio é fixo , temos:
Onde e .
Passo 3: Calcular (nessa etapa, temos que verificar a orientação de )
Agora tem uma sutileza: no caso escalar a gente tomava o módulo do vetor normal então não ligávamos para qual dos dois vetores normais estávamos escolhendo. Aqui faz diferença, mas o enunciado sempre vai nos dizer qual devemos escolher. Basta verificar se ao fazer as contas estamos escolhendo o vetor coerente com o enunciado.
Olhando para a figura, vemos que em temos as componentes e do vetor positivas, o que está de acordo com . Se tivéssemos feito o produto encontraríamos a orientação oposta.
Passo 4: Montar a integral
Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:
Passo 5: Resolver a integral
Beleza? O passo a passo para esse tipo de questão é basicamente esse aí!
Passo 1: Vamos fazer um gráfico para visualizar a superfície
Passo 2: Parametrizar
Passo 3: Calcular , lembrar de observar a orientação de
Passo 4: Montar a integral
Passo 5: Resolver a integral
Bem tranquilo, né? Vamos ver uns exercícios agora pra fixar bem isso.
Interpretação física - Fluxo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1163 - 8
Encontre o fluxo do campo vetorial através de . Onde ; é a porção do plano do primeiro octante, orientada por vetores normais unitários com componentes positivos.
Passo 1
Podemos usar a parametrização explícita para descrever nosso plano, então devemos encontrar :
Assim, a parametrização será:
Passo 2
Vamos calcular o vetor normal unitário a essa superfície. Para a parametrização explícita sabemos que:
Passo 3
Agora vamos encontrar os intervalos dos parâmetros. Como é a porção do plano no primeiro octante, todas as variáveis são maiores que zero, logo:
Note que as variáveis e variam no triângulo formado pela projeção de no plano , onde :
Então para cada variando entre
Teremos que vai variar de até , que é o limite da reta, assim:
Veja a imagem para entender melhor
Passo 4
O cálculo do fluxo é dado por:
Assim, o fluxo é
Resposta
Exercício Resolvido #2
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 280-6.
Calcule a integral:
Onde:
E é a união da superfície:
Com a superfície:
Indicando a orientação escolhida para .
Passo 1
A superfície é a união de outras duas. Podemos então separar a integral e fazer como se fossem dois problemas:
Para a primeira, que é o cilindro , vamos parametrizar com coordenadas polares:
Substituindo na equação da superfície:
Portanto sobrou como variável, vamos torna-la um parâmetro.
Jogando a parametrização nas limitações, temos simplesmente:
Portanto nosso domínio de integração é:
Passo 2
Encontrando o vetor normal:
Como os valores de e estão com um sinal positivo, o vetor normal está apontando para fora.
Passo 3
Substituindo a parametrização no campo:
Fazendo o produto escalar:
Fazendo a integral:
Substituindo os limites de integração:
Arrumando pela fórmula trigonométrica e por substituição simples:
Substituindo:
Passo 4
Fazendo a parametrização para a outra superfície, sabemos que ela é o plano .
Com os limites:
Que é o disco de raio unitário. Parametrizamos com coordenadas polares:
Substituindo:
Portanto nossos limites são o domínio:
Modelando o plano:
Obtemos o vetor normal:
Para manter a ideia de vetor normal apontando para fora da superfície, precisamos apontar o vetor para baixo, logo
Passo 5
Fazendo a integral:
Substituímos a parametrização no campo:
Não importam a primeira e a segunda coordenadas pois o produto escalar com vai zerá-las. Portanto:
Mas nesse plano temos , portanto:
Pelo produto escalar temos:
Portanto a integral é nula.
Resposta
Com a orientação do vetor normal às superfícies apontando para fora do cilindro e para baixo do plano.
Exercício Resolvido #3
USP - Cálculo 3 - P3 2012 - 1b
Calcule
Onde