Teoria Completa
Fala ai, nós somos o RespondeAi e o material dessa página foi preparado pensando em você que está com aquela dificuldade boba em Cálculo e quer entender um pouco mais sobre parametrização de superfícies e campos vetoriais. Vamos falar sobre o Teorema de Stokes, que tem muita relação com o teorema fundamental do cálculo, mas que está mais de acordo com integrais duplas. Vamos dar uma olhada com mais calma a seguir...
Teorema de Stokes
Sendo $S$ uma superfície orientada positivamente, se $\vec{F}=(F_1,F_2,F_3)$ é um campo vetorial definido em todo domínio de integração e se a fronteira de $S$, que chamaremos de $\partial S$ está orientada positivamente, pelo Teorema de Stokes:
Calma, calma, vamos entender todos os detalhes desse teorema aqui! Destacamos alguns termos que são as hipóteses do teorema:
- A curva da integral de linha é a fronteira de $S$, ou seja, é uma curva fechada!
- O campo $\vec{F}$ é definido em todos os pontos do domínio, ou seja, não podemos ter singularidades!
- A superfície deve ser orientada positivamente.
Essas são as condições necessárias para o correto funcionamento do teorema, então vamos fazer um exemplo para entender como se aplica o teorema. Dizemos que o teorema de Stokes nos permite calcular uma circulação na figura que desenhamos, por isso é tão importante que estejamos trabalhando com uma superfície fechada.
Exemplo
Sendo $\gamma$ a curva dada pela interseção do paraboloide $y=2-(x^2+z^2)$ com o semicone $y=\sqrt{x^2+z^2}$ orientada no sentido horário quando observada a partir da origem dos eixos coordenados, calcule:
Passo 1
Primeira coisa que vamos perceber é que temos uma integral de linha no $R^3$ e que é muito difícil resolvê-la pelo método direto (imagina se tivéssemos que parametrizar isso), então por isso vamos utilizar o Teorema de Stokes.
Para começar vamos fazer um gráfico da região:
Repare que o que queremos descobrir é a interseção $\gamma$ entre as duas curvas, que como vemos no gráfico forma um circulo, que teve seu perímetro pintado de preto na figura. Como $\gamma$ é curva fechada, é muito melhor usar o teorema de Stokes, ao invés de parametrizar a curva.
Passo 2
Vamos entender agora, como utilizar o teorema de Stokes para curvas fechadas e utilizá-lo para calcular a circulação da figura do gráfico.
Para isso precisaremos calcular esse termo $rot(\vec{F})$ que representa o campo vetorial rotacional de $\vec{F}$, que chamamos muitas vezes de rotacional de $\vec{F}$. Vamos descobrir seu valor a partir do produto vetorial:
Sabendo que:
Podemos calcular as derivadas parciais e descobrir que:
Passo 3
Nosso vetor rotacional até que ficou bem simples né? Mais um indicio que calcular essa integral usando o método de Stokes deve ser melhor que pela definição de integral de linha. Então agora vamos encontrar a expressão que representa a curva $\gamma$. Vamos descobrir a interseção das superfícies manipulando as equações da seguinte forma:
Isolamos $x^2+z^2$ e agora podemos substituir na equação da segunda superfície:
Elevando os dois lados ao quadrado e reorganizando a expressão:
E está ai a equação da nossa curva, resolvendo essa equação encontramos $y_1=1$ e $y_2=-2$ como a curva está na parte positiva do eixo $y$, temos que utilizar $y=1$, logo:
E então podemos concluir que nossa curva é uma figura de uma circunferência paralela ao plano $xz$ em $y=1$ e raio igual a 1.
Passo 4
Agora que já sabemos o formato da figura e onde ela se encontra podemos definir nossa superfície $S$ e parametrizá-la. Dessa forma vamos escolher um circulo contido no plano $y=1$, e vamos calcular sua circulação utilizando o teorema de Stokes
Agora temos que nos preocupar com o vetor normal, que no caso ficará paralelo ao eixo $y$, como fixamos o valor de $y$ vamos variar apenas os valores de $x$ e $z$ e podemos escrever nossa parametrização com a seguinte cara:
Com $D=\{(x,z)|x^2+z^2\leq 1\}$.
Passo 5
Agora temos que descobrir o valor do vetor $\vec{n}$, para isso vamos precisar dos valores da derivada parcial da nossa parametrização em relação a $z$ e em relação a $x$:
E agora podemos calcular o seguinte produto vetorial, para encontrar o valor do vetor normal:
E isso coincide com nossas predições que o vetor normal, deve ser paralelo ao eixo $y$:
Passo 6
E agora finalmente podemos aplicar o teorema e encontrar o resultado:
Como $D$ é um círculo de raio 1, temos:
Portanto o resultado de nossa circulação vale:
Resposta
Sinisstrooo, né? Calma, respira, e vamos lá! Esse exemplo parece difícil mas você vai ver que o processo é mecânico e sempre o mesmo! A melhor forma de ficar craque nesse assunto é dando uma olhada em uns exercícios. Então cola no nosso site, porque aqui você encontra uma série de exercícios organizados em ordem crescente de dificuldades; todos com nossas resoluções Passo a Passo mastigadinhas para você; e resolvidos com muito carinho pela nossa equipe de Experts.
Aproveita e dá uma olhada em uma resolução em vídeo de um outro exercício que você também pode encontrar no nosso site, sobre esse assunto de Teorema de Stokes:
Exercício Resolvido #1
Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo ao redor da curva no sentido indicado.
A fronteira do triângulo cortado a partir do plano pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Antes de aplicar o Teorema de Stokes vamos ver o que é circulação. Circulação é definido como:
Que sorte! Porque o Teorema de Stokes nos diz que:
Passo 2
Vamos começar calculando o rotacional de :
Passo 3
Para este plano podemos usar a parametrização explícita:
Passo 4
Resolvendo a integral de superfície:
Como,
Resposta
Assim, temos que a circulação
Exercício Resolvido #2
Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Galerinha, a gente começa relembrando um pouco lá da física, onde trabalho é força vezes o deslocamento. Então, neste caso, podemos escrever o trabalho dessa forma aqui:
Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Stokes. Então teremos essa igualdade aqui:
Onde a curva é o bordo da superfície orientada positivamente.
Passo 2
A gente vai começar, esboçando essas superfícies para entender melhor o problema.
O enunciado forneceu a equação de duas superfícies.
A primeira é a equação da esfera, cujo raio é :
Já a segunda equação é um plano:
Esboçando as duas curvas, temos:
A interseção da esfera com o plano é uma circunferência de centro na origem e raio (repara que destacamos em preto na figura).
O enunciado também diz que ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima. Deste modo, pela regra da mão direita, podemos ver que o vetor normal à superfície deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.
Passo 3
Agora vamos partir para integral!
Precisamos do rotacional do campo ! O rotacional é dado por:
Como nosso campo é
Temos que,
Calculando, ficamos com
Passo 4
Repara que na nossa integral temos o rotacional é multiplicado pelo unitário do vetor normal!
Então, precisamos do vetor normal à superfície .
Observando o esboço da superfície, vemos que o cículo que quermos orientar está contido no plano . Se não ficou claro, é só reparar que o o vetor normal sai do centro e avança para valores de negativos e positivos. Aahh, repara que ele não tem componente em .
Escrevendo na forma vetorial, temos
Ele é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos. No entanto, precisamos do unitário dele pra fórmula:
Passo 5
Já temos todos os elementos, vamos para integral! Ela fica assim:
A gente pode deixar essa equação mais bonitinha tirando a raiz do denominador. Para isso, basta multiplicar por em cima e embaixo. Aí fica assim
Então temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como a esfera e o plano passam na origem, dá pra reparar que a interseção vai ser um círculo com o raio igual ao da esfera, que é !
Então,
Resposta
Exercício Resolvido #3
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva .
onde é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano de vértices e
Passo 1
Primeiro devemos encontrar a função vetorial em questão e o seu rotacional. Temos que e o rotacional pode ser calculado por:
Passo 2
Agora vamos encontrar a normal a superfície, esta superfície pode ser parametrizada de forma explícita como:
Assim,
Passo 3
Vamos aplicar o teorema de Stokes
Substituindo pelo rotacional e pela normal que calculamos, temos:
Mas, , representa o dobro da área da superfície projetada no plano . Não confunda isso! Quando temos “” ali do lado, estamos falando de tudo no plano já, beleza?
Passo 4
O último passo é calcular a área da superfície! Sorte nossa que é um triângulo! Esse aqui é o triângulo original da questão, ele está em :
Precisamos projetar ele no plano pra calcular a área, mas isso é simples: só zerar os termos em . No caso fica assim
O lado tem medida igual a 4 pois os dois pontos estão no plano e sobre a reta , então a distância entre eles é a diferença entre a coordenada .
A altura aqui também está sobre a reta , portanto o seu tamanho vai ser dado pela diferença nas coordenadas de , logo
Logo, a área do triângulo é:
Então,
E aproveitando a imagem aí em cima e sabendo que a normal que escolhemos aponta para o negativo, nós temos a orientação da curva ! Que no caso é .
Resposta
Assim, a integral de linha do camp definido no enunciado é dada por:
E a orientação usada foi
Exercício Resolvido #4
Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral numa integral de linha e a calcule, sabendo que , é parametrizada por , com , sendo a normal apontando para cima.
Passo 1
Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. A parametrização nos diz que:
Ou seja, um paraboloide, certo? Mas algo tem que limitar essa superfície, senão ela é infinita. Nós temos que
Ou seja,
Isso nos diz que o domínio dessa superfície é o círculo de raio centrado na origem. Portanto, temos isso aqui:
E o Teorema de Stokes nos diz o seguinte:
Ou seja, podemos substituir essa integral do rotacional de na superfície por uma integral de linha sobre a fronteira de . Como podemos ver pela imagem, essa fronteira é uma circunferência de raio .
Passo 2
Certo, agora precisamos calcular essa integral de linha. Como nós já estamos cansados de ver, o primeiro passo agora é achar uma parametrização para essa curva.
Bom, como se trata de uma circunferência de raio , temos que
Precisamos agora definir a coordenada dessa curva, ou seja, a altura da circunferência. Como ela faz parte do paraboloide, nada mais justo que substituir sua equação na dele, certo?
Pronto, descobrimos a altura dessa curva, agora precisamos parametrizá-la. Como se trata de uma circunferência, a melhor saída aqui é usar coordenadas polares
Como sabemos que o raio é igual a , podemos substituir . Como é dada uma volta completa temos . Lembrando que o é fixo em . Isso nos dá:
Passo 3
Agora precisamos calcular a derivada dessa parametrização:
Passo 4
Vamos, então, substituir na fórmula abaixo e escrever em função do parâmetro
Escrevendo a função vetorial
Em termos da parametrização
Temos
Substituindo na fórmula, temos
Resposta
Exercício Resolvido #5
Seja a curva orientada parametrizada por:
Seja o campo vetorial:
Calcule:
Passo 1
Pela cara do campo vetorial, devemos aplicar Stokes, pois resolver a integral de linha pela sua definição não seria agradável.
O campo é de classe se por causa daquele expoente . Portanto temos que, pela Lei de Stokes:
Analisando a curva , vemos que para todo .
Isso porque o valor máximo de um seno ou cosseno é ! Então na coordenada temos no mínimo !
Claro que cosseno e seno nunca valem ao mesmo tempo então o limite inferior para seria até um pouco maior que , mas o que importa é que ele seja maior que pra não dar zica naquela raiz!
Substituindo por coordenadas cartesianas, temos que a curva está contida na superfície:
Vamos utilizar essa superfície na formula de Stokes.
Passo 2
Observamos que a projeção da curva no plano coordenado (zerando a coordenada ) é um círculo de raio e tem o sentido anti-horário. Portanto, orientamos a superfície de forma compatível com o teorema de Stokes, isto é, com a terceira componente do vetor normal sendo positiva. Usando a parametrização natural, isto é:
Temos que o domínio da parametrização é dado por:
Temos também que o vetor normal é:
Que tem a orientação desejada.
Passo 3
Segue que:
Aplicando Stokes:
Aplicando coordenadas polares por causa do domínio e da integral:
Plugando a parametrização na definição do domínio :
Isto pois é positivo por definição.
Agora mudemos os diferenciais por jacobiano:
Passo 4
Plugando os limites e a parametrização na integral:
Em a integral é moleza, a outra é só um polinômio. Partiu pro abraço: