Teorema de Stokes

Teoria Completa

A gente já viu como calcular uma integral de superfície pela definição. Mas muitas vezes a nossa parametrização não vai ser tão de boas de calcular, ou muito longa! Por sorte, Stokes criou uma maneira de facilitar sua vida nesses casos.

Exemplo: Imagina você tenha que calcular a integral de superfície ∮ ∂ S   F → . d r tal que

F → = - y 2 i → + x j → + z 2 k →

e C é a curva da interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Fica complicado parametrizar a curva e depois resolver essa integral. Então vamos resolver pelo teorema de Stokes! Mas como que a gente faz isso?

O Teorema de Stokes vai nos dar uma relação entre a integral de superfície sobre uma superfície S com a integral de linha sobre a sua fronteira, que é uma curva no espaço. Assim olha:

Passo 1: Fazer um gráfico da região

Temos um plano e um cilindro, com simetria ao eixo z .

Passo 2: Calcular r o t F →

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = F 1 , F 2 , F 3 = - y 2 , x , z 2

Calculano as derivadas parciais, temos que:

∂ F 3 ∂ y = 0 ,   ∂ F 2 ∂ z = 0 ,   ∂ F 1 ∂ z = 0 , ∂ F 3 ∂ x = 0 ,   ∂ F 2 ∂ x = 1   e   ∂ F 1 ∂ y = - 2 y

Colocando na nossa fórmula de r o t ( F ) → temos que r o t ( F ) → = ( 0,0 , 1 + 2 y ) , ou ( 1 + 2 y ) k ^

Passo 3: Escolher a superfície com fronteira ∂ S

Existem muitas superfícies com fronteira ∂ S , a melhor escolha é a região elíptica S y + z = 2 , que também pode ser escrito como, z = 2 - y , formada na interseção entre o plano e o cilindro.

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ S   1 + 2 y d A

Mas quem é esse d A ?

Passo 4: Parametrizar S

A é a área da projeção da nossa interseção no plano xy, que vai ser ninguém mais ninguém menos que o disco x 2 + y 2 ≤ 1 já que o nosso cone tem raio 1. Parametrizando essa belezinha temos:

x = r c o s t y = r s e n t J = r E os nossos limites de integração são:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 5: Substituindo isso tudo na integral dupla e colocando os limites que acabamos de achar, temos:

∫ 0 2 π   ∫ 0 1 1 + 2 ( r s e n ( t ) r   d r d t

Resolvendo essa integral ficamos com: ∫ 0 2 π r 2 2 + 2 r 3 s e n t 3 0 1 d t

∫ 0 2 π 1 2 + 2 s e n t 3 d t

1 2 2 π + 0 = π

Ficou mais de boinhas com o exemplo, né? Vamos continuar então pra ficar tudo super claro!

Teorema de Stokes

Sendo S uma superfície orientada positivamente, se F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 é um campo vetorial definido em todo domínio de integração e se a fronteira de S , que chamaremos de ∂ S está orientada positivamente, pelo Teorema de Stokes:

∬ S   r o t F → . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Calma calma, vamos explicar todos os detalhes desse teorema aqui! Preste atenção nesses termos que destacamos, essas são as hipóteses do teorema:

1) A curva da integral de linha é a fronteira de S , ou seja, é uma curva fechada!

2) O campo F → é definido em todos os pontos do domínio, ou seja, não podemos ter singularidades! Aqueles “bugs” lembra? Divisão por 0 , raiz de negativo, etc.

3) A superfície deve ser orientada positivamente! Dá uma olhada nessa revisão rapidinha de orientação de superfícies aqui.

Revisão – Orientação relativa entre superfícies e bordas

Uma superfície é orientada por um campo de vetores unitários n → , normais a ela. Com base nessa orientação de S , podemos orientar a sua fronteira positivamente. Veja a figura abaixo:

Imagine-se andando sobre a curva C com a cabeça na direção e no sentido do vetor n → . Você vê a superfície à sua esquerda, não vê? Pronto, a fronteira C está orientada positivamente em relação a S .

Voltando ao teorema

Depois de termos certeza que todas as hipóteses são verdadeiras, podemos aplicar o teorema de Stokes. “Mas quando ele vai ser útil pra gente? Não to entendo muito pra que ele serve!”

Fica calmo, o teorema é útil quando temos uma integral de linha no R 3 e não conseguimos resolver pelo método direto! Olha esse exemplo aqui

Exemplo: Sendo γ a curva dada pela interseção do paraboloide y = 2 - ( x 2 + z 2 ) com o semicone y = x 2 + z 2 orientada no sentido horário quando observada a partir da origem dos eixos coordenados, calcule:

∫ γ     z e x   d x + y 2 + 1 3   d y + e x - x + cos ⁡ z 2 d z    

Passo 1: Fazer um gráfico da região

Temos um semicone e um paraboloide, ambos com simetria no eixo y , pois a variável y é a que possui sinal diferente nas equações.

A interseção entre as superfícies é essa curva em preto, que o problema chama de γ . Como as duas superfícies tem abertura circular, já que os coeficientes de x 2 e de z 2 são iguais, essa curva é uma circunferência, como vamos ver.

Se a gente fosse tentar parametrizar isso e jogar naquele campo F → , ia ficar uma parada bizarra não é? Por isso, como nossa curva é fechada, parece bem tranquilo usar o teorema de Stokes! Entendeu a situação?

∬ S   r o t F → . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Mas quem é esse cara dentro da integral dupla??

Esse termo r o t F → representa o campo vetorial rotacional de F → , que chamamos muitas vezes apenas de rotacional de F → . Ele é definido por:

  r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Podemos obter essa expressão fazendo o produto vetorial:

r o t F → = ∇ ×   F →

Onde é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Aplicando ao campo vetorial, temos:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Você pode, então, fazer esse produto vetorial ou simplesmente gravar a expressão do vetor, a escolha é sua!

Passo 2: Calcular r o t F →

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = F 1 , F 2 , F 3 = z e x   , y 2 + 1 3 , e x - x + cos ⁡ z 2

r o t F → = 0 - 0 ,   e x - e x - 1 ,   0 - 0 = ( 0,1 , 0 )

Ficou bem simples esse cara, né? Aí vai outro bizu:

Quando você calcular o rotacional e encontrar uma expressão simples, já sabe que pode ser uma boa aplicar o Teorema de Stokes em vez de calcular a integral de linha pela definição!

Passo 3: Encontrar a expressão de γ

Fazendo a interseção entre as equações das superfícies:

y = 2 - x 2 + z 2   → x 2 + z 2 = 2 - y

y = x 2 + z 2   → y = 2 - y

y 2 + y - 2 = 0

As soluções dessa equação são y = 1 e y = - 2 , como a curva está na parte positiva do eixo y , temos y = 1 . Substituindo em uma das equações:

x 2 + z 2 = 1

Temos, portanto, uma circunferência paralela ao plano x z em y = 1 .

Passo 4: Escolher S e parametrizá-la

Há infinitas superfícies com fronteira γ , vamos escolher a que simplifique mais o problema. Perceba que, se escolhermos o círculo contido no plano y = 1 , teremos um vetor normal paralelo a y , com as outras coordenadas nulas, o que simplifica muito nossas contas. É o que faremos então. Vamos parametrizar S da seguinte forma:

φ x , z = ( x , 1 , z )

Com D = x , z x 2 + z 2 ≤ 1 } . Temos y constante e x e z variando dentro da circunferência.

Passo 5: Calcular ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , 0 )

∂ φ ∂ z = ( 0,0 , 1 )

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z = i j k 1 0 0 0 0 1 = ( 0 , - 1,0 )

Agora precisamos analisar a orientação do vetor. Como γ deve estar orientada no sentido horário quando vista da origem, o vetor n → deve apontar para y positivo, como vemos abaixo.

Portanto, o produto vetorial que buscamos é o oposto ao que calculamos:

∂ φ ∂ z × ∂ φ ∂ x = ( 0,1 , 0 )

Passo 6: Aplicar o Teorema

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ D   r o t F → . ∂ φ ∂ z × ∂ φ ∂ x d x d z

∫ γ   F → . d r = ∬ D   ( 0,1 , 0 ) . ( 0,1 , 0 ) d x d z

∫ γ   F → . d r = ∬ D   d x d z = á r e a   ( D )

Como D é um círculo de raio 1 , temos:

∫ γ   F → . d r = π

Superfícies Fechadas

Como o Teorema de Stokes envolve uma superfície e sua borda, somente podemos usá-lo no caso de termos uma superfície aberta! Se a superfície for fechada, uma esfera por exemplo, ela não tem fronteira, então não usamos o Teorema de Stokes diretamente.

Vamos ver aqui como funciona a aplicação do teorema de Stokes em superfícies fechadas!

Vamos usar como exemplo para o nosso problema uma esfera fechada com vetores normais apontanto para fora, como na figura

Agora vamos cortar esta esfera em duas semi-esferas, cada uma delas é uma superfície aberta com a borda igual para as duas partes. A orientação da bordas são as seguintes:

Aplicando o teorema de Stokes em cada uma, teremos:

∬ S 1   r o t F → . n → d S = ∮ ∂ S 1   F → . d r

∬ S 2   r o t F → . n → d S = ∮ ∂ S 2   F → . d r

A integral do rotacional do campo na esfera é igual a somas das integrais das semi esferas,

∬ S   r o t F → . n → d S = ∬ S 1   r o t F → . n → d S + ∬ S 2   r o t F → . n → d S

Substituindo a integral de superfície pela igualdade encontrada na aplicação do teorema de Stokes das suas semi esfereras, teremos:

∬ S   r o t F → . n → d S =   ∮ ∂ S 1   F → . d r + ∮ ∂ S 2   F → . d r    

Como as duas bordas ∂ S 1 e ∂ S 2 são igual e somente de sentindos opostos, temos:

∮ ∂ S 1   F → . d r = - ∮ ∂ S 2   F → . d r

Logo, teremos

∬ S   r o t F → . n → d S =   ∮ ∂ S 1   F → . d r - ∮ ∂ S 1   F → . d r    

∬ S   r o t F → . n → d S = 0

Assim, ao aplicar o teorema de Stokes numa superfície fechada encontramos que a integral de superfície tem valor nulo!

Olha só um rápido passo a passo aqui

Passo 1: Esboçar a região

Passo 2: Ter certeza que todas as hipóteses do teorema estão ok.

Passo 3: Calcular r o t F →

  r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Passo 4: Parametrizar S

Passo 5: Calcular ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z

Passo 6: Montar o teorema de Stokes

∬ S   r o t F → . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Passo 7: Calcular a integral

Vamos partir pras questões pra treinar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 534 - 3

Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F   ao redor da curva C no sentido indicado.

F : y i + x z j + x 2 k

C : A fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Passo 1

Antes de aplicar o Teorema de Stokes vamos ver o que é circulação. Circulação é definido como:

∮ ∂ S   F → . d r

Que sorte! Porque o Teorema de Stokes nos diz que:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   ( ∇ ×   F ) → . n → d S

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de F :

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ ×   F → = ( - x , - 2 x , z - 1 )

Passo 3

Para este plano podemos usar a parametrização explícita:

z = f x , y = 1 - x - y

N → x , y = - ∂ f ∂ x x , y ,   - ∂ f ∂ y x , y ,   1

N → x , y = 1 ,   1 ,   1

Passo 4

Resolvendo a integral de superfície:

∮ ∂ S   F → . d r =   ∬ σ ( ∇ ×   F → ) . n → d S = ∬ σ ( ∇ ×   F → ) . N → d x d y

∬ σ ( - x , - 2 x , z - 1 ) . 1 ,   1 ,   1 d y d x

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - x - 2 x + z - 1   d y d x

Como, z = 1 - x - y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 4 x - y d y d x

∫ 0 1 - 4 x 1 - x + 1 2 1 - x 2 d x

- ∫ 0 1 1 2 + 3 x - 7 2 x 2 d x = - 5 6

Resposta

Assim, temos que a circulação

∮ ∂ S   F → . d r = - 5 6

Exercício Resolvido #2

UFF - Cálculo IIIA - P2 Maria João 2014.1 – 5

Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = y , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Passo 1

Sabemos que o trabalho W é dado por

W = ∫ C F → . d r →

mas como queremos usar o teorema de Stokes teremos

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Onde a curva C é o bordo da superfície S orientada positivamente.

Passo 2

O esboço da curva pedida no enunciado é esse aqui

A interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano z = y é uma circunferência de centro na origem e raio 2. Como ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima o vetor normal à superfície S deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.

Passo 3

Precisamos do rotacional do campo F → ! Então vamos determina-lo.

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

rot ⁡ F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

rot ⁡ F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z - y - x - z - x - y = - i + j - k - - k - j - i = 2 j = 0 ,   2 ,   0

Passo 4

Precisamos do vetor normal à superfície S . Observando o esboço da superfície vemos que o cículo que quermos orientar está contido no plano - y + z = 0 . Logo o vetor N → = 0 ,   - 1 ,   1 é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos. No entanto, precisamos do unitário dele pra fórmula: n → = 0 ,   - 1 ,   1 2

Passo 5

Logo a integral fica

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s = ∬ S 0 ,   2 ,   0   . 0 ,   - 1 ,   1 2   d s = ∬ S - 2 2   d s

W = ∬ S - 2 2   d s = - 2 2 ⋅ A r e a S

Então temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como a esfera e o plano passam na origem, dá pra reparar que a interseção vai ser um círculo com o raio igual ao da esfera, que é 2 !

Então,

A r e a S = π ⋅ 2 2 = 4 π

W = ∬ S - 2 2   d s = - 2 ⋅ A r e a S =

= - 4 2 π

Resposta

- 4 2 π

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 293 - 5.

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C .

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3

onde C é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano - 3 x + 3 z + 6 = 0 de vértices P = 2,2 , 0 ,   Q = ( 2,6 , 0 ) e R = ( 2 + 3 , 4,3 )

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Passo 1

Primeiro devemos encontrar a função vetorial em questão e o seu rotacional. Temos que F → = ( 8 x - 2 y ,   y ,   3 z ) e o rotacional pode ser calculado por:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ ×   F → = ( 0 ,   0 ,   2 )

Passo 2

Agora vamos encontrar a normal a superfície, esta superfície pode ser parametrizada de forma explícita como:

z = f x , y = 3 x - 6 3