Teorema de Stokes

Teoria Completa

Quando vamos calcular uma integral de superfície pela definição, nós fazemos a parametrização explicita dela. Algumas vezes é difícil fazer essa parametrização, mas fica tranquilo que o Teorema de Stokes está aí para ajudar!

Teorema de Stokes

Sendo S uma superfície orientada positivamente, se F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 é um campo vetorial definido em todo domínio de integração e se a fronteira de S , que chamaremos de ∂ S está orientada positivamente, pelo Teorema de Stokes:

∬ S   r o t ( F → ) . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Calma calma, vamos explicar todos os detalhes desse teorema aqui! Preste atenção nesses termos que destacamos, essas são as hipóteses do teorema:

1) A curva da integral de linha é a fronteira de S , ou seja, é uma curva fechada!

2) O campo F → é definido em todos os pontos do domínio, ou seja, não podemos ter singularidades! Aqueles “bugs” lembra? Divisão por 0 , raiz de negativo, etc.

3) A superfície deve ser orientada positivamente!

Tem uma revisãozinha sobre algunas conceitos mais para baixo.

Vamos para um exemplo agora!

Depois de termos certeza que todas as hipóteses são verdadeiras, podemos aplicar o teorema de Stokes. “Mas quando ele vai ser útil pra gente? Não to entendo muito pra que ele serve!”

Fica calmo, o teorema é útil quando temos uma integral de linha no R 3 e não conseguimos resolver pelo método direto! Olha esse exemplo aqui

Exemplo: Sendo γ a curva dada pela interseção do paraboloide y = 2 - ( x 2 + z 2 ) com o semicone y = x 2 + z 2 orientada no sentido horário quando observada a partir da origem dos eixos coordenados, calcule:

∫ γ     z e x   d x + y 2 + 1 3   d y + e x - x + cos ⁡ z 2 d z    

Passo 1: Fazer um gráfico da região

Temos um semicone e um paraboloide, ambos com simetria no eixo y , pois a variável y é a que possui sinal diferente nas equações.

A interseção entre as superfícies é essa curva em preto, que o problema chama de γ . Como as duas superfícies tem abertura circular, já que os coeficientes de x 2 e de z 2 são iguais, essa curva é uma circunferência, como vamos ver.

Se a gente fosse tentar parametrizar isso e jogar naquele campo F → , ia ficar uma parada bizarra não é? Por isso, como nossa curva é fechada, parece bem tranquilo usar o teorema de Stokes! Entendeu a situação?

∬ S   r o t ( F → ) . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Mas quem é esse cara dentro da integral dupla??

Esse termo r o t ( F → ) representa o campo vetorial rotacional de F → , que chamamos muitas vezes apenas de rotacional de F → . Ele é definido por:

  r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Podemos obter essa expressão fazendo o produto vetorial:

r o t ( F → ) = ∇ ×   F →

Onde é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Aplicando ao campo vetorial, temos:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Você pode, então, fazer esse produto vetorial ou simplesmente gravar a expressão do vetor, a escolha é sua!

Passo 2: Calcular r o t ( F → )

r o t ( F → ) = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = F 1 , F 2 , F 3 = z e x   , y 2 + 1 3 , e x - x + cos ⁡ z 2

r o t ( F → ) = 0 - 0 ,   e x - e x - 1 ,   0 - 0 = ( 0,1 , 0 )

Ficou bem simples esse cara, né? Aí vai outro bizu:

Quando você calcular o rotacional e encontrar uma expressão simples, já sabe que pode ser uma boa aplicar o Teorema de Stokes em vez de calcular a integral de linha pela definição!

Passo 3: Encontrar a expressão de γ

Fazendo a interseção entre as equações das superfícies:

y = 2 - x 2 + z 2   → x 2 + z 2 = 2 - y

y = x 2 + z 2   → y = 2 - y

y 2 + y - 2 = 0

As soluções dessa equação são y = 1 e y = - 2 , como a curva está na parte positiva do eixo y , temos y = 1 . Substituindo em uma das equações:

x 2 + z 2 = 1

Temos, portanto, uma circunferência paralela ao plano x z em y = 1 .

Passo 4: Escolher S e parametrizá-la

Há infinitas superfícies com fronteira γ , vamos escolher a que simplifique mais o problema. Perceba que, se escolhermos o círculo contido no plano y = 1 , teremos um vetor normal paralelo a y , com as outras coordenadas nulas, o que simplifica muito nossas contas. É o que faremos então. Vamos parametrizar S da seguinte forma:

φ x , z = ( x , 1 , z )

Com D = x , z x 2 + z 2 ≤ 1 } . Temos y constante e x e z variando dentro da circunferência.

Passo 5: Calcular ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , 0 )

∂ φ ∂ z = ( 0,0 , 1 )

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z = i j k 1 0 0 0 0 1 = ( 0 ,   - 1,0 )

Agora precisamos analisar a orientação do vetor. Como γ deve estar orientada no sentido horário quando vista da origem, o vetor n → deve apontar para y positivo, como vemos abaixo.

Portanto, o produto vetorial que buscamos é o oposto ao que calculamos:

∂ φ ∂ z × ∂ φ ∂ x = ( 0,1 , 0 )

Passo 6: Aplicar o Teorema

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ D   r o t F → . ∂ φ ∂ z × ∂ φ ∂ x d x d z

∫ γ   F → . d r = ∬ D   ( 0,1 , 0 ) . ( 0,1 , 0 ) d x d z

∫ γ   F → . d r = ∬ D   d x d z = Á r e a   ( D )

Como D é um círculo de raio 1 , temos:

∫ γ   F → . d r = π

Revisão – Orientação relativa entre superfícies e bordas

Uma superfície é orientada por um campo de vetores unitários n → , normais a ela. Com base nessa orientação de S , podemos orientar a sua fronteira positivamente. Veja a figura abaixo:

Imagine-se andando sobre a curva C com a cabeça na direção e no sentido do vetor n → . Você vê a superfície à sua esquerda, não vê? Pronto, a fronteira C está orientada positivamente em relação a S .

Superfícies Fechadas

Como o Teorema de Stokes envolve uma superfície e sua borda, somente podemos usá-lo no caso de termos uma superfície aberta! Se a superfície for fechada, como em uma esfera por exemplo, ela não tem fronteira, então a integral de superfície tem valor nulo!

Vamos ver aqui como funciona a aplicação do teorema de Stokes em superfícies fechadas!

Vamos usar como exemplo uma esfera fechada com vetores normais apontanto para fora, como na figura

Agora vamos cortar esta esfera em duas semi-esferas, cada uma delas é uma superfície aberta com a borda igual para as duas partes. A orientação da bordas são as seguintes:

Aplicando o teorema de Stokes em cada uma, teremos:

∬ S 1   r o t ( F → ) . n → d S = ∮ ∂ S 1   F → . d r

∬ S 2   r o t ( F → ) . n → d S = ∮ ∂ S 2   F → . d r

A integral do rotacional do campo na esfera é igual a somas das integrais das semi esferas,

∬ S   r o t ( F → ) . n → d S = ∬ S 1   r o t F → . n → d S + ∬ S 2   r o t ( F → ) . n → d S

Substituindo a integral de superfície pela igualdade encontrada na aplicação do teorema de Stokes das suas semi esfereras, teremos:

∬ S   r o t ( F → ) . n → d S =   ∮ ∂ S 1   F → . d r + ∮ ∂ S 2   F → . d r    

Como as duas bordas ∂ S 1 e ∂ S 2 são igual e somente de sentindos opostos, temos:

∮ ∂ S 1   F → . d r = - ∮ ∂ S 2   F → . d r

Logo, teremos

∬ S   r o t ( F → ) . n → d S =   ∮ ∂ S 1   F → . d r - ∮ ∂ S 1   F → . d r    

∬ S   r o t ( F → ) . n → d S = 0

Assim, ao aplicar o teorema de Stokes numa superfície fechada encontramos que a integral de superfície tem valor nulo!

Vamos partir pras questões pra treinar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 534 - 3

Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F   ao redor da curva C no sentido indicado.

F : y i + x z j + x 2 k

C : A fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Passo 1

Antes de aplicar o Teorema de Stokes vamos ver o que é circulação. Circulação é definido como:

∮ ∂ S   F → . d r

Que sorte! Porque o Teorema de Stokes nos diz que:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   ( ∇ ×   F ) → . n → d S

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de F :

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ ×   F → = ( - x , - 2 x , z - 1 )

Passo 3

Para este plano podemos usar a parametrização explícita:

z = f x , y = 1 - x - y

N → x , y = - ∂ f ∂ x x , y ,   - ∂ f ∂ y x , y ,   1

N → x , y = 1 ,   1 ,   1

Passo 4

Resolvendo a integral de superfície:

∮ ∂ S   F → . d r =   ∬ σ ( ∇ ×   F → ) . n → d S = ∬ σ ( ∇ ×   F → ) . N → d x d y

∬ σ ( - x , - 2 x , z - 1 ) . 1 ,   1 ,   1 d y d x

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - x - 2 x + z - 1   d y d x

Como, z = 1 - x - y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 4 x - y d y d x

∫ 0 1 - 4 x 1 - x + 1 2 1 - x 2 d x

- ∫ 0 1 1 2 + 3 x - 7 2 x 2 d x = - 5 6

Resposta

Assim, temos que a circulação

∮ ∂ S   F → . d r = - 5 6

Exercício Resolvido #2

UFF - Cálculo IIIA - P2 Maria João 2014.1 – 5

Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = y , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Passo 1

Galerinha, a gente começa relembrando um pouco lá da física, onde trabalho é força vezes o deslocamento. Então, neste caso, podemos escrever o trabalho W dessa forma aqui:

W = ∫ C F → . d r →

Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Stokes. Então teremos essa igualdade aqui:

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Onde a curva C é o bordo da superfície S orientada positivamente.

Passo 2

A gente vai começar, esboçando essas superfícies para entender melhor o problema.

O enunciado forneceu a equação de duas superfícies.

A primeira é a equação da esfera, cujo raio é 2 :

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Já a segunda equação é um plano:

z = y

Esboçando as duas curvas, temos:

A interseção da esfera com o plano é uma circunferência de centro na origem e raio 2 (repara que destacamos em preto na figura).

O enunciado também diz que ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima. Deste modo, pela regra da mão direita, podemos ver que o vetor normal à superfície S deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.

Passo 3

Agora vamos partir para integral!

W = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s

Precisamos do rotacional do campo F → ! O rotacional é dado por:

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como nosso campo F → é

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

Temos que,

F 1 = z - y

F 2 = - x - z

F 3 = - x - y

Calculando, ficamos com

r o t F → = - 1 - - 1 ,   1 - - 1 ,   - 1 - - 1

r o t F → = 0 ,   2 ,   0

Passo 4

Repara que na nossa integral temos o rotacional é multiplicado pelo unitário do vetor normal!

Então, precisamos do vetor normal à superfície S .

Observando o esboço da superfície, vemos que o cículo que quermos orientar está contido no plano - y + z = 0 . Se não ficou claro, é só reparar que o o vetor normal sai do centro e avança para valores de y negativos e z positivos. Aahh, repara que ele não tem componente em x .

Escrevendo na forma vetorial, temos

N → = 0 ,   - 1 ,   1

Ele é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos. No entanto, precisamos do unitário dele pra fórmula: n → = 0 ,   - 1 ,   1 2

Passo 5

Já temos todos os elementos, vamos para integral! Ela fica assim:

W = ∫ C F → . d r → = ∬ S   r o t   F →   . n →   d s = ∬ S 0 ,   2 ,   0   . 0 ,   - 1 ,   1 2   d s = ∬ S - 2 2   d s

W = ∬ S - 2 2   d s = - 2 2 ⋅ A r e a S

A gente pode deixar essa equação mais bonitinha tirando a raiz do denominador. Para isso, basta multiplicar por 2 em cima e embaixo. Aí fica assim

W =   - 2 ⋅ A r e a S

Então temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como a esfera e o plano passam na origem, dá pra reparar que a interseção vai ser um círculo com o raio igual ao da esfera, que é 2 !

Então,

A r e a S = π ⋅ 2 2 = 4 π

W = - 2 ⋅ A r e a S = - 4 2 π

Resposta

- 4 2 π

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 293 - 5.

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C .

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3

onde C é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano - 3 x + 3 z + 6 = 0 de vértices P = 2,2 , 0 ,   Q = ( 2,6 , 0 ) e R = ( 2 + 3 , 4,3 )

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Passo 1

Primeiro devemos encontrar a função vetorial em questão e o seu rotacional. Temos que F → = ( 8 x - 2 y ,   y ,   3 z ) e o rotacional pode ser calculado por:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ ×   F → = ( 0 ,   0 ,   2 )

Passo 2

Agora vamos encontrar a normal a superfície, esta superfície pode ser parametrizada de forma explícita como:

z = f x , y = 3 x - 6 3

Assim,

N → x , y = - ∂ f ∂ x x , y ,   - ∂ f ∂ y x , y ,   1

N → x , y = - 3 3 ,   0 ,   1

Passo 3

Vamos aplicar o teorema de Stokes ∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   ∇ ×   F → . n → d S = ∬ S   ∇ ×   F → . N → d x d y

Substituindo pelo rotacional e pela normal que calculamos, temos:

∬ S   ∇ ×   F → . N → d x d y =   ∬ S   0,0 , 2 . - 3 3 ,   0 ,   1 d x d y = ∬ S   2 d x d y

Mas, ∬ S   2 d x d y , representa o dobro da área da superfície projetada no plano x y . Não confunda isso! Quando temos “ d x d y ” ali do lado, estamos falando de tudo no plano x y já, beleza?

Passo 4

O último passo é calcular a área da superfície! Sorte nossa que é um triângulo! Esse aqui é o triângulo original da questão, ele está em 3 D :

R = 2 + 3 , 4,0

Precisamos projetar ele no plano x y pra calcular a área, mas isso é simples: só zerar os termos em z . No caso fica assim

R ' = 2 + 3 , 4

P = 2,2

Q = 2,6

O lado P Q tem medida igual a 4 pois os dois pontos estão no plano x y e sobre a reta x = 2 , então a distância entre eles é a diferença entre a coordenada y .

A altura aqui também está sobre a reta y = 4 , portanto o seu tamanho vai ser dado pela diferença nas coordenadas de x , logo h = 2 + 3 - 2

h = 3

Logo, a área do triângulo é:

A = b h 2

A = 4 . 3 2 = 2 3

Então,

2 A = 4 3

E aproveitando a imagem aí em cima e sabendo que a normal que escolhemos aponta para o x negativo, nós temos a orientação da curva C ! Que no caso é Q → P → R → Q .

Resposta

Assim, a integral de linha do camp F → definido no enunciado é dada por:

∮ C   F → . d r = 2 A = 4 3

E a orientação usada foi Q → P → R → Q

Exercício Resolvido #4

UERJ - Análise Vetorial - Lista 4 Flávio - 3ª

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral ∬ S   r o t F .   n →   d s numa integral de linha e a calcule, sabendo que F x , y , z = ( 0,0 , y ) , S é parametrizada por φ u , v = ( u , v , u 2 + v 2 ) , com u 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →