Teorema de Stokes

Teoria Completa

A gente já viu como calcular uma integral de superfície pela definição. Mas muitas vezes a nossa parametrização não vai ser tão de boas de calcular, ou muito longa! Por sorte, temos um teorema que vai facilitar sua vida nesses casos :)

Exemplo: Imagina você tenha que calcular a integral de superfície ∮ ∂ S   F → . d r tal que

F → = - y 2 i → + x j → + z 2 k →

e C é a curva da interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Fica complicado parametrizar a curva e depois resolver essa integral. Então vamos resolver pelo teorema de Stokes! Mas como que a gente faz isso?

O Teorema de Stokes vai nos dar uma relação entre a integral de superfície sobre uma superfície S com a integral de linha sobre a sua fronteira, que é uma curva no espaço. Assim olha:

Passo 1: Fazer um gráfico da região

Temos um plano e um cilindro, com simetria ao eixo z .

Passo 2: Calcular r o t F →

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = F 1 , F 2 , F 3 = - y 2 , x , z 2

Calculano as derivadas parciais, temos que:

∂ F 3 ∂ y = 0 ,   ∂ F 2 ∂ z = 0 ,   ∂ F 1 ∂ z = 0 , ∂ F 3 ∂ x = 0 ,   ∂ F 2 ∂ x = 1   e   ∂ F 1 ∂ y = - 2 y

Colocando na nossa fórmula de r o t ( F ) → temos que r o t ( F ) → = ( 0,0 , 1 + 2 y ) , ou ( 1 + 2 y ) k ^

Passo 3: Escolher a superfície com fronteira ∂ S

Existem muitas superfícies com fronteira ∂ S , a melhor escolha é a região elíptica S y + z = 2 , que também pode ser escrito como, z = 2 - y , formada na interseção entre o plano e o cilindro.

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ S   1 + 2 y d A

Mas quem é esse d A ?

Passo 4: Parametrizar S

A é a área da projeção da nossa interseção no plano xy, que vai ser ninguém mais ninguém menos que o disco x 2 + y 2 ≤ 1 já que o nosso cone tem raio 1. Parametrizando essa belezinha temos:

x = r c o s t y = r s e n t J = r E os nossos limites de integração são:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 5: Substituindo isso tudo na integral dupla e colocando os limites que acabamos de achar, temos:

∫ 0 2 π   ∫ 0 1 1 + 2 ( r s e n ( t ) r   d r d t

Resolvendo essa integral ficamos com: ∫ 0 2 π r 2 2 + 2 r 3 s e n t 3 0 1 d t

∫ 0 2 π 1 2 + 2 s e n t 3 d t

1 2 2 π + 0 = π

Ficou mais de boinhas com o exemplo, né? Vamos continuar então pra ficar tudo super claro!

Teorema de Stokes

Sendo S uma superfície orientada positivamente, se F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 é um campo vetorial definido em todo domínio de integração e se a fronteira de S , que chamaremos de ∂ S está orientada positivamente, pelo Teorema de Stokes:

∬ S   r o t F → . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Calma calma, vamos explicar todos os detalhes desse teorema aqui! Preste atenção nesses termos que destacamos, essas são as hipóteses do teorema:

1) A curva da integral de linha é a fronteira de S , ou seja, é uma curva fechada!

2) O campo F → é definido em todos os pontos do domínio, ou seja, não podemos ter singularidades! Aqueles “bugs” lembra? Divisão por 0 , raiz de negativo, etc.

3) A superfície deve ser orientada positivamente! Dá uma olhada nessa revisão rapidinha de orientação de superfícies aqui.

Revisão – Orientação relativa entre superfícies e bordas

Uma superfície é orientada por um campo de vetores unitários n → , normais a ela. Com base nessa orientação de S , podemos orientar a sua fronteira positivamente. Veja a figura abaixo:

Imagine-se andando sobre a curva C com a cabeça na direção e no sentido do vetor n → . Você vê a superfície à sua esquerda, não vê? Pronto, a fronteira C está orientada positivamente em relação a S .

Voltando ao teorema

Depois de termos certeza que todas as hipóteses são verdadeiras, podemos aplicar o teorema de Stokes. “Mas quando ele vai ser útil pra gente? Não to entendo muito pra que ele serve!”

Fica calmo, o teorema é útil quando temos uma integral de linha no R 3 e não conseguimos resolver pelo método direto! Olha esse exemplo aqui

Exemplo: Sendo γ a curva dada pela interseção do paraboloide y = 2 - ( x 2 + z 2 ) com o semicone y = x 2 + z 2 orientada no sentido horário quando observada a partir da origem dos eixos coordenados, calcule:

∫ γ     z e x   d x + y 2 + 1 3   d y + e x - x + cos ⁡ z 2 d z    

Passo 1: Fazer um gráfico da região

Temos um semicone e um paraboloide, ambos com simetria no eixo y , pois a variável y é a que possui sinal diferente nas equações.

A interseção entre as superfícies é essa curva em preto, que o problema chama de γ . Como as duas superfícies tem abertura circular, já que os coeficientes de x 2 e de z 2 são iguais, essa curva é uma circunferência, como vamos ver.

Se a gente fosse tentar parametrizar isso e jogar naquele campo F → , ia ficar uma parada bizarra não é? Por isso, como nossa curva é fechada, parece bem tranquilo usar o teorema de Stokes! Entendeu a situação?

∬ S   r o t F → . n → d s = ∮ ∂ S   F → . d r

Mas quem é esse cara dentro da integral dupla??

Esse termo r o t F → representa o campo vetorial rotacional de F → , que chamamos muitas vezes apenas de rotacional de F → . Ele é definido por:

  r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Podemos obter essa expressão fazendo o produto vetorial:

r o t F → = ∇ ×   F →

Onde é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Aplicando ao campo vetorial, temos:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Você pode, então, fazer esse produto vetorial ou simplesmente gravar a expressão do vetor, a escolha é sua!

Passo 2: Calcular r o t F →

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = F 1 , F 2 , F 3 = z e x   , y 2 + 1 3 , e x - x + cos ⁡ z 2

r o t F → = 0 - 0 ,   e x - e x - 1 ,   0 - 0 = ( 0,1 , 0 )

Ficou bem simples esse cara, né? Aí vai outro bizu:

Quando você calcular o rotacional e encontrar uma expressão simples, já sabe que pode ser uma boa aplicar o Teorema de Stokes em vez de calcular a integral de linha pela definição!

Passo 3: Encontrar a expressão de γ

Fazendo a interseção entre as equações das superfícies:

y = 2 - x 2 + z 2   → x 2 + z 2 = 2 - y

y = x 2 + z 2   → y = 2 - y

y 2 + y - 2 = 0

As soluções dessa equação são y = 1 e y = - 2 , como a curva está na parte positiva do eixo y , temos y = 1 . Substituindo em uma das equações:

x 2 + z 2 = 1

Temos, portanto, uma circunferência paralela ao plano x z em y = 1 .

Passo 4: Escolher S e parametrizá-la

Há infinitas superfícies com fronteira γ , vamos escolher a que simplifique mais o problema. Perceba que, se escolhermos o círculo contido no plano y = 1 , teremos um vetor normal paralelo a y , com as outras coordenadas nulas, o que simplifica muito nossas contas. É o que faremos então. Vamos parametrizar S da seguinte forma:

φ x , z = ( x , 1 , z )

Com D = x , z x 2 + z 2 ≤ 1 } . Temos y constante e x e z variando dentro da circunferência.

Passo 5: Calcular ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , 0 )

∂ φ ∂ z = ( 0,0 , 1 )

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ z = i j k 1 0 0 0 0 1 = ( 0 , - 1,0 )

Agora precisamos analisar a orientação do vetor. Como γ deve estar orientada no sentido horário quando vista da origem, o vetor n → deve apontar para y positivo, como vemos abaixo.

Portanto, o produto vetorial que buscamos é o oposto ao que calculamos:

∂ φ ∂ z × ∂ φ ∂ x = ( 0,1 , 0 )