Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Teoria Completa

Centro de massa

Podemos entender o centro de massa de um corpo como o ponto em que podemos considerar que toda a sua massa se concentra.

Como assim? Se nós temos um corpo de duas dimensões (uma placa, por exemplo) e queremos tratá-lo em um problema como uma massa pontual, esse ponto deve ser o centro de massa.

Beleza, agora vamos escrever isso matematicamente. Sendo δ ( x , y ) a densidade de massa dessa placa, nós sabemos que sua massa é dada pela integração dessa função na região plana D ocupada por esse corpo:

M = ∬ D   δ ( x , y ) d A

O primeiro momento em relação a x é dado pela integração dessa densidade multiplicada pela distância de cada ponto da placa ao eixo x (repare que essa distância é exatamente igual a y ). Portanto:

M x = ∬ D   y   δ ( x , y ) d A

Você pode interpretar essa expressão como   M x = ∬ D   y   d m , ou seja, a soma de cada diferencial de massa da placa multiplicado pelo seu braço de alavanca.

O momento em relação ao eixo y segue o mesmo raciocínio, a distância de cada ponto da placa a esse eixo será dada por x :

M y = ∬ D   x   δ ( x , y ) d A

Então, nós temos que a coordenada x - do centro de massa é dada por:

x - = M y M = ∬ D   x   δ ( x , y ) d A ∬ D   δ ( x , y ) d A

Enquanto a coordenada y - :

y - = M x M = ∬ D   y   δ ( x , y ) d A ∬ D   δ ( x , y ) d A

Você pode pensar nessas expressões como médias ponderadas, onde o peso é a massa da placa. Como assim?

M y é dado pela multiplicação entre a massa do ponto e a coordenada x . Se nós somamos M y para cada ponto da placa e dividimos pela massa total da mesma, nós temos uma “coordenada x média”, certo? Esse é o conceito de centro de massa.

Vamos ver um exemplo para isso tudo ficar mais claro!

Exemplo: Encontre a coordenada x - do centro de massa da região plana D limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 , que possui densidade de massa δ x , y = x .

Passo 1

Nós sabemos que:

x - = M y M

Portanto, precisamos de dois valores para resolver o problema: a massa M e o momento M y .

Passo 2

Vamos calcular a massa M dessa região, integrando sua densidade ao longo de D :

M = ∬ D   δ ( x , y ) d A

Como D é dada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 e δ x , y = x , temos:

M = ∫ 0 2 ∫ 0 1 x d x d y

= ∫ 0 2 x 2 2 0 1 d y =

= 1 2 ∫ 0 2 d y =

= 1 2 y 0 2 =

= 1

Passo 3

Agora, precisamos do momento:

M y = ∬ D   x   δ ( x , y ) d A

Substituindo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 e δ x , y = x :

M y = ∫ 0 2 ∫ 0 1 x 2 d x d y

= ∫ 0 2 x 3 3 0 1 d y =

= 1 3 ∫ 0 2 d y =

= 1 3 y 0 2 =

= 2 3

Passo 4

Beleza, agora temos isso aqui:

x - = M y M = 2 / 3 1 = 2 3

Encontramos a coordenada x - do centro de massa.

Bom, nesse tipo de questão, então você precisa basicamente encontrar a massa da região e o momento referente à coordenada que o problema pede e, em seguida, fazer a relação entre esses valores.

Se a questão pedir as duas coordenadas do centro de massa não há mistério nenhum, basta você calcular M , M x e M y ! Para cara uma dessas grandezas você terá que montar e resolver uma integral dupla, usando os mesmos conceitos que você já conhece.

Centroide

Centroide é o centro geométrico de uma região (no caso, estamos analisando regiões planas). Da mesma forma que o centro de massa pode ser interpretado como uma média ponderada onde o peso é a massa da região, podemos ver o centroide como uma média onde o peso é a área.

Seguindo esse mesmo raciocínio, nós temos a área de uma região plana D :

A = ∬ D   d A

Então, as coordenadas do centroide de uma região plana são dadas por:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A

Viu que é muito parecido com o centro de massa, não é? Repare que quando δ x , y = c o n s t a n t e , as expressões são exatamente iguais. Isso quer dizer que, em regiões com densidade constante, homogênea, o centro de massa e o centroide (centro geométrico) coincidem.

Esses dois tipos de questão são extremamente parecidos, o passo a passo é o mesmo, a diferença será se a densidade aparecerá ou não nas expressões.

Você vai calcular uma integral, depois outra e, em seguida, fazer a razão entre as duas. É importante memorizar essas fórmulas! Pense nas médias ponderadas que fica mais fácil, show? : )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x - , y - do centro de massa de D .

D = ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 3 - x ; f x , y = x 2 + y 2

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Passo 1

Nós sabemos que:

x - = M y M

y - = M x M

Portanto, precisamos de três valores para resolver o problema: a massa M e os momentos M x e M y .

Passo 2

Vamos calcular a massa M dessa região, integrando sua densidade ao longo de D :

M = ∬ D   f ( x , y ) d A

Como D é dada por 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 3 - x e f x , y = x 2 + y 2 , temos:

M = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 x 2 y + y 3 3 0 3 - x d x =

= ∫ 0 3 3 x 2 - x 3 + 1 3 3 - x 3   d x =

= x 3 - x 4 4 - 1 12 3 - x 4 0 3 =

= 27 - 81 4 - 0 + 81 12 =

= 27 2

Passo 3

Agora, precisamos dos momentos. Vamos começar por M y :

M y = ∬ D   x   f ( x , y ) d A

M y = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x ( x 3 + x y 2 ) d y d x =

= ∫ 0 3 x 3 y + x y 3 3 0 3 - x d x =

∫ 0 3 ( 3 x 3 - x 4 + x 3 3 - x 3 ) d x

Vamos separar cada termo da integral acima pra ficar mais organizado.

Passo 4

Vamos ter:

∫ 0 3 3 x 3 d x = 3 x 4 4 │ 0 3   = 243 4

∫ 0 3 - x 4 d x = - x 5 5 │ 0 3 = - 243 5

∫ 0 3 x 3 3 - x 3 d x

Essa é um pouquinho mais chata, vamos ter que fazer uma substituição:

u = 3 - x → x = 3 - u

d u = - d x

Então, vamos ter:

∫ 3 - u 3 u 3 - d u = - 1 3 ∫ 3 u 3 - u 4   d u = - 1 3 3 u 4 4 - u 5 5 = - 3 - x 4 4 + 3 - x 5 15

Aplicando os limites de integração:

3 - x 5 15 │ 0 3 - 3 - x 4 4 │ 0 3 = 0 - 3 5 15 - 0 - 3 4 4 = - 243 15 + 81 4 = - 81 5 + 81 4

Somando tudo, vamos ter:

243 4 - 243 5 - 81 5 + 81 4 = 324 4 - 324 5 = 324 ∙ 5 - 324 ∙ 4 20 = 324 20

⇒ M y = 81 5

Passo 5

Agora vamos ver como que fica para M x :

M x = ∬ D   y   f ( x , y ) d A

M x = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x y x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x ( x 2 y + y 3 ) d y d x =

= ∫ 0 3 x 2 y 2 2 + y 4 4 0 3 - x d x = ∫ 0 3 x 2 9 - 6 x + x 2 2 + 3 - x 4 4 d x

Vamos calcular um por um também pra não ficar aquela bagunça toda...

Passo 6

Vamos ter:

∫ 0 3 x 2 9 - 6 x + x 2 2 d x = ∫ 0 3 9 x 2 2 d x - ∫ 0 3 3 x 3   d x + ∫ 0 3 x 4 2 d x

⇒ 3 x 3 2 │ 0 3 - 3 x 4 4 │ 0 3 + x 5 10 │ 0 3

= 81 2 - 243 4 + 243 10 = 10 ∙ 81 - 243 ∙ 5 + 243 ∙ 2 20 = 810 - 243 ∙ 3 20 = 81 20

E também:

∫ 0 3 3 - x 4 4 d x = - 3 - x 5 20 │ 0 3 = - 0 - 243 20 = 243 20

Então é só somar:

M x = 81 20 + 243 20 = 324 20 = 81 5

Passo 7

Agora que já temos tudo, é só usar nossas fórmulas:

x - = M y M = 81 5 ∙ 2 27 = 3 ∙ 2 5 = 6 5

y - = M x M = 81 5 ∙ 2 27 = 3 ∙ 2 5 = 6 5

Pronto!

Resposta

M = 27 2

x - = 6 5

y - = 6 5

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-21

Encontre o centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x , pela parábola y 2 = 2 x e pela reta x + y = 4 .

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Passo 1

Na teoria, a gente viu qe o centróide de uma região plana pode ser encontrado utilizado as fómulas:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A

Então, na verdade, o que nós temos mesmo que cálcular são essas três integrais aí, né?

Vamos ver com fica cada uma delas!

Passo 2

Vamos começar pela integral mais simples, que aparece no denominador das duas fórmulas:

∬ D   d A

A nossa região D é limitada pelas curvas: y 2 = 2 x , x + y = 4 e o eixo x , então vamos esboçar mais ou menos como que ela vai ficar:

Aqui podemos ver que temos uma região do tipo 2 , com y variando entre 0 e aquele ponto de interseção, que se dá em:

y 2 2 = 4 - y → y 2 + 2 y - 8

⇒ y 1 = - 4         y 2 = 2

Então nossa região vai ser descrita por:

D = ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ y ≤ 2 , y 2 2 ≤ x ≤ 4 - y

Passo 3

Agora calculando mesmo a integral, vamos ter:

∬ D   d A = ∫ 0 2 ∫ y 2 2 4 - y d x d y

⇒ ∫ 0 2 x │ y 2 2 4 - y d y = ∫ 0 2 4 - y - y 2 2 d y

= 4 y │ 0 2 - y 2 2 │ 0 2 - y 3 6 │ 0 2 = 8 - 2 - 4 3

= 6 - 4 3 = 18 - 4 3 = 14 3

Agora só falta calcular as integrais dos numeradores. Vamos lá!

Passo 4

Vamos começar pela do x , lembrando da fórmula:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

Então o que nós queremos calcular é:

∬ D   x   d A

Mas já descrevemos a região, então podemos fazer:

∬ D   x   d A = ∫ 0 2 ∫ y 2 2 4 - y x   d x d y

⇒ ∫ 0 2 x 2 2 │ y 2 2 4 - y d y = 1 2 ∫ 0 2 16 - 8 y + y 2 - y 4 4 d y

= 1 2 16 y │ 0 2 - 4 y 2 │ 0 2 + y 3 3 │ 0 2 - y 5 20 │ 0 2

⇒ 16 - 8 + 4 3 - 4 5

= 16 ∙ 15 - 8 ∙ 15 + 4 ∙ 5 - 4 ∙ 3 15 = 128 15

Então, substituindo:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A = 128 15 ∙ 3 14 = 384 210 = 64 35

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para y c :

∬ D   y   d A = ∫ 0 2 ∫ y 2 2 4 - y y   d x d y

⇒ ∫ 0 2 y 4 - y - y 2 2 d y = ∫ 0 2 4 y - y 2 - y 3 2 d y

⇒ 2 y 2 │ 0 2 - y 3 3 │ 0 2 - y 4 8 │ 0 2

= 8 - 8 3 - 2 = 6 - 8 3 = 18 - 8 3

= 10 3

E vamos substituir de novo:

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A = 10 3 ∙ 3 14 = 10 14 = 5 7

Pronto, tudo feito!

Resposta

x c = 64 35

y c = 5 7

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-24

A área da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = 6 x - x 2 e pela reta y = x é de 125 6 unidades quadradas. Encontre o centróide.

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Passo 1

Para encontrar o centróide, vamos usar as relações:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A

Mas, por sorte, o enunciado já nos dá a área da região, então não precisamos calcular a integral do denominador, já que:

∬ D   d A = Á r e a D = 125 6

Então só vamos precisar calcular as integrais dos numeradores para encontrarmos nosso centróide. Vamos ver como que fica!

Passo 2

Vamos começar tentando entender melhor nossa região, já que vamos precisar descrevê-la para calcularmos nossa integral dupla.

Se esboçarmos a parábola y = 6 x - x 2 e a reta y = x , vamos ter algo do tipo:

Temos uma região do tipo 1 , com x variando entre 0 e aquele ponto de interseção, que se dá em:

x = 6 x - x 2 → x x - 5 = 0

⇒ x 1 = 0       x 2 = 5

Então nossa região vai ser descrita por:

D = ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 5 , x ≤ y ≤ 6 x - x 2

E agora podemos calcular nossas integrais.

Passo 3

Vamos começar pela de x c , lembrando a fórmula:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

Então,temos que calcular:

∬ D   x   d A

Mas como temos nossa região descrita já, podemos fazer:

∬ D   x   d A = ∫ 0 5 ∫ x 6 x - x 2 x   d y d x

⇒ ∫ 0 5 x y   │ x 6 x - x 2 d x

= ∫ 0 5 6 x 2 - x 3 - x 2   d x = ∫ 0 5 5 x 2 - x 3   d x

⇒ 5 x 3 3 │ 0 5 - x 4 4 │ 0 5 = 625 3 - 625 4 = 625 12

Agora, se substituirmos na fórmula lá de cima, vamos ter:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

⇒ 625 12 ∙ 6 125 = 5 2

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para y c :

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A

Então vamos calcular:

∬ D   y   d A = ∫ 0 5 ∫ x 6 x - x 2 y   d y d x

⇒ ∫ 0 5 y 2 2 │ x 6 x - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 5 36 x 2 - 12 x 3 + x 4 - x 2   d x

= 1 2 ∫ 0 5 35 x 2 - 12 x 3 + x 4   d x

1 2 35 x 3 3 │ 0 5 - 3 x 4 │ 0 5 + x 5 5 │ 0 5 = 1 2 7 ∙ 5 ∙ 5 3 3 - 3 ∙ 5 4 + 5 5 5

= 1 2 ∙ 7 ∙ 5 4 - 9 ∙ 5 4 + 3 ∙ 5 4 3 = 5 4 6 = 625 6

Que se substituirmos na fórmula, vai nos dar:

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A = 625 6 ∙ 6 126 = 5

Resposta

x c = 5 2

y c = 5

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-24

Encontre o centróide da região dentro da cardióide r = 1 + cos ⁡ θ .

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Passo 1

A gente sabe calcular o centróide usando as relações:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A

Mas a região que nos foi dada está e coordenadas polares que, para nos lembrarmos, são:

x = r cos ⁡ θ           y = r sin ⁡ θ

Então, ná verdade, o que vamos calcular vai ser:

x c = ∬ D   r cos ⁡ θ   d A ∬ D   d A

y c = ∬ D   r sin ⁡ θ   d A ∬ D   d A

Então vamos tentar entender a região pra conseguir descrevê-la, que é só o que falta pra calcularmos as integrais!

Passo 2

Quando temos uma curva dessas complicadas com coordenadas polares, eu gosto sempre de tentar marcar uns pontos importantes pra tentar esboçar a curva mais ou menos, então vamos ver:

A curva começa com θ = 0 → r = 2 .

Para 0 ≤ θ ≤ π 2   → cos ⁡ θ decresce de 1 até 0 , então r decresce de 2 até 1 .

Para π 2 ≤ θ ≤ π   → cos ⁡ θ cresce em módulo de 0 até 1 , mas é negativo, então r decresce de 1 até 0 .

Para π ≤ θ ≤ 3 π 2   → cos ⁡ θ