Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Teoria Completa

Centro de massa

Podemos entender o centro de massa de um corpo como o ponto em que podemos considerar que toda a sua massa se concentra.

Como assim? Se nós temos um corpo de duas dimensões (uma placa, por exemplo) e queremos tratá-lo em um problema como uma massa pontual, esse ponto deve ser o centro de massa.

Beleza, agora vamos escrever isso matematicamente. Sendo δ ( x , y ) a densidade de massa dessa placa, nós sabemos que sua massa é dada pela integração dessa função na região plana D ocupada por esse corpo:

M = ∬ D   δ ( x , y ) d A

O primeiro momento em relação a x é dado pela integração dessa densidade multiplicada pela distância de cada ponto da placa ao eixo x (repare que essa distância é exatamente igual a y ). Portanto:

M x = ∬ D   y   δ ( x , y ) d A

Você pode interpretar essa expressão como   M x = ∬ D   y   d m , ou seja, a soma de cada diferencial de massa da placa multiplicado pelo seu braço de alavanca.

O momento em relação ao eixo y segue o mesmo raciocínio, a distância de cada ponto da placa a esse eixo será dada por x :

M y = ∬ D   x   δ ( x , y ) d A

Então, nós temos que a coordenada x - do centro de massa é dada por:

x - = M y M = ∬ D   x   δ ( x , y ) d A ∬ D   δ ( x , y ) d A

Enquanto a coordenada y - :

y - = M x M = ∬ D   y   δ ( x , y ) d A ∬ D   δ ( x , y ) d A

Você pode pensar nessas expressões como médias ponderadas, onde o peso é a massa da placa. Como assim?

M y é dado pela multiplicação entre a massa do ponto e a coordenada x . Se nós somamos M y para cada ponto da placa e dividimos pela massa total da mesma, nós temos uma “coordenada x média”, certo? Esse é o conceito de centro de massa.

Vamos ver um exemplo para isso tudo ficar mais claro!

Exemplo: Encontre a coordenada x - do centro de massa da região plana D limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 , que possui densidade de massa δ x , y = x .

Passo 1

Nós sabemos que:

x - = M y M

Portanto, precisamos de dois valores para resolver o problema: a massa M e o momento M y .

Passo 2

Vamos calcular a massa M dessa região, integrando sua densidade ao longo de D :

M = ∬ D   δ ( x , y ) d A

Como D é dada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 e δ x , y = x , temos:

M = ∫ 0 2 ∫ 0 1 x d x d y

= ∫ 0 2 x 2 2 0 1 d y =

= 1 2 ∫ 0 2 d y =

= 1 2 y 0 2 =

= 1

Passo 3

Agora, precisamos do momento:

M y = ∬ D   x   δ ( x , y ) d A

Substituindo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 e δ x , y = x :

M y = ∫ 0 2 ∫ 0 1 x 2 d x d y

= ∫ 0 2 x 3 3 0 1 d y =

= 1 3 ∫ 0 2 d y =

= 1 3 y 0 2 =

= 2 3

Passo 4

Beleza, agora temos isso aqui:

x - = M y M = 2 / 3 1 = 2 3

Encontramos a coordenada x - do centro de massa.

Bom, nesse tipo de questão, então você precisa basicamente encontrar a massa da região e o momento referente à coordenada que o problema pede e, em seguida, fazer a relação entre esses valores.

Se a questão pedir as duas coordenadas do centro de massa não há mistério nenhum, basta você calcular M , M x e M y ! Para cada uma dessas grandezas você terá que montar e resolver uma integral dupla, usando os mesmos conceitos que você já conhece.

Centroide

Centroide é o centro geométrico de uma região (no caso, estamos analisando regiões planas). Da mesma forma que o centro de massa pode ser interpretado como uma média ponderada onde o peso é a massa da região, podemos ver o centroide como uma média onde o peso é a área.

Seguindo esse mesmo raciocínio, nós temos a área de uma região plana D :

A = ∬ D   d A

Então, as coordenadas do centroide de uma região plana são dadas por:

x c = ∬ D   x   d A ∬ D   d A

y c = ∬ D   y   d A ∬ D   d A

Viu que é muito parecido com o centro de massa, não é? Repare que quando δ x , y = c o n s t a n t e , as expressões são exatamente iguais. Isso quer dizer que, em regiões com densidade constante, homogênea, o centro de massa e o centroide (centro geométrico) coincidem.

Esses dois tipos de questão são extremamente parecidos, o passo a passo é o mesmo, a diferença será se a densidade aparecerá ou não nas expressões.

Você vai calcular uma integral, depois outra e, em seguida, fazer a razão entre as duas. É importante memorizar essas fórmulas! Pense nas médias ponderadas que fica mais fácil, show? : )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x - , y - do centro de massa de D .

D = ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 3 - x ; f x , y = x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nós sabemos que:

x - = M y M

y - = M x M

Portanto, precisamos de três valores para resolver o problema: a massa M e os momentos M x e M y .

Passo 2

Vamos calcular a massa M dessa região, integrando sua densidade ao longo de D :

M = ∬ D   f ( x , y ) d A

Como D é dada por 0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 3 - x e f x , y = x 2 + y 2 , temos:

M = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 x 2 y + y 3 3 0 3 - x d x =

= ∫ 0 3 3 x 2 - x 3 + 1 3 3 - x 3   d x =

= x 3 - x 4 4 - 1 12 3 - x 4 0 3 =

= 27 - 81 4 - 0 + 81 12 =

= 27 2

Passo 3

Agora, precisamos dos momentos. Vamos começar por M y :

M y = ∬ D   x   f ( x , y ) d A

M y = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x ( x 3 + x y 2 ) d y d x =

= ∫ 0 3 x 3 y + x y 3 3 0 3 - x d x =

∫ 0 3 ( 3 x 3 - x 4 + x 3 3 - x 3 ) d x

Vamos separar cada termo da integral acima pra ficar mais organizado.

Passo 4

Vamos ter:

∫ 0 3 3 x 3 d x = 3 x 4 4 │ 0 3   = 243 4

∫ 0 3 - x 4 d x = - x 5 5 │ 0 3 = - 243 5

∫ 0 3 x 3 3 - x 3 d x

Essa é um pouquinho mais chata, vamos ter que fazer uma substituição:

u = 3 - x → x = 3 - u

d u = - d x

Então, vamos ter:

∫ 3 - u 3 u 3 - d u = - 1 3 ∫ 3 u 3 - u 4   d u = - 1 3 3 u 4 4 - u 5 5 = - 3 - x 4 4 + 3 - x 5 15

Aplicando os limites de integração:

3 - x 5 15 │ 0 3 - 3 - x 4 4 │ 0 3 = 0 - 3 5 15 - 0 - 3 4 4 = - 243 15 + 81 4 = - 81 5 + 81 4

Somando tudo, vamos ter:

243 4 - 243 5 - 81 5 + 81 4 = 324 4 - 324 5 = 324 ∙ 5 - 324 ∙ 4 20 = 324 20

⇒ M y = 81 5

Passo 5

Agora vamos ver como que fica para M x :

M x = ∬ D   y   f ( x , y ) d A

M x = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x y x 2 + y 2 d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x ( x 2 y + y 3 ) d y d x =

= ∫ 0 3 x 2 y 2 2 + y 4 4 0 3 - x d x = ∫ 0 3 x 2 9 - 6 x + x 2 2 + 3 - x 4 4 d x