Teoria Completa
Introdução
Olá! Como estamos estudando integrais duplas, eu vou lançar um desafio: calcular a expressão abaixo.
Onde
Opa, essa integral parecer sem complicadinha, né? Nem sempre as integrais são simples para resolvermos diretamente, às vezes precisamos “mexer” um pouco nelas.
Não seria muito mais simples se fosse assim?
Então, chegamos ao objetivo do nosso capítulo! Aprender como mudar as variáveis das integrais, procurando deixá-las mais fáceis de calcular.
Então vamos resolver esse exemplo ai!
Passo 1: Para escrevermos da forma mais simples o primeiro é fazer a substituição. Neste caso definimos que:
Passo 2: Sempre que fizermos uma mudança de variável não podemos esquecer de calcular o Jacobiano, que é feito desse jeitinho aqui:
Nunca, de forma alguma, se esqueça de inserir o Jacobiano quando você trocar as variáveis! Se você esquecer, já vai começar a questão com a integral errada.
Como nós mudamos as variáveis para e , nós precisamos de um termo faz a relação entre os diferenciais. Esse termo é o Jacobiano, ok. E quando fazemos isso, estamos usando o Teorema da mudança de variáveis.
Um fato interessante do jacobiano é que ele nunca pode ser 0. Caso você encontre 0, refaça as contas ou faça uma nova mudança de variável.
No caso do nosso exemplo ficamos com:
Passo 3: Agora nós temos que substituir tudo na nossa nova integral que tem essa cara
Percebe que o que a gente multiplica na integral quando fazemos uma mudança é o módulo do Jacobiano.
Podemos colocar essa constante para fora e a nossa integral fica assim:
Passo 4: A última coisinha que temos que prestar atenção são os novos limites de integração!
Só que como os limites de são e , vamos substituir os valores para achar os novos limites de e .
Substituindo, temos que os limites de são e os limites de são
Então nossa integral final fica:
Agora que ficou mais tranquilinho de entender pelo exemplo vamos ver como se faz de forma genérica!
Lembra que você tinha que calcular a relação entre os diferenciais e os novos limites de integração? Por exemplo, se fazemos , teremos que . Se os limites iniciais fossem e eles passarão a ser e . Esse método se baseia na seguinte fórmula:
Vamos fazer o equivalente para as integrais duplas, pois não podemos simplesmente trocar as variáveis sem compensar a integral e a região de integração. Vamos transformar uma integral do tipo
Transformando em , nós ficamos com
Dica: Algumas vezes você vai fazer substituições em que é complicado isolar o e o para calcular as derivadas parciais, por exemplo, e . Nesses casos, tem um jeito mais simples para calcular o Jacobiano.
Se queremos , podemos calcular , usando as derivadas parciais de e e inverter esse resultado. Pois:
Vamos ver isso melhor nos exercícios!
Mudança linear de variáveis
Galera, agora vou falar com vocês sobre uma forma especial de substituir variáveis em integrais duplas. Essa forma é quando fazemos uma transformação linear. Considere uma transformação linear definida assim:
(Sendo , , e constantes)
O determinante Jacobiano será dado por
Portanto, quando tivermos uma mudança linear de variáveis, o Jacobiano dessa transformação será sempre um número.
Exemplo: Calcule
Onde é a região triangular limitada pela reta e os eixos coordenados.
Passo 1: Observando a integral, vemos que o expoente não é uma expressão muito simples. Então, vamos tentar simplificá-la por meio de substituições. Não seria muito melhor se tivéssemos apenas ? É o que faremos, para isso, vamos definir:
e
Somando as expressões teremos
Subtraindo as expressões teremos
Portanto:
Passo 2: Pronto, já escolhemos nossa substituição, agora vamos calcular o seu Jacobiano.
Temos:
Passo 3: Agora vamos calcular os novos intervalos. Antes tínhamos e os eixos coordenados e limitando nossa região de integração, vamos substituir as novas variáveis nessas expressões:
No plano , essas expressões definem a seguinte região:
Passo 4: Vamos, agora, escrever esse domínio como tipo II (à esquerda e à direita temos funções e em cima e embaixo temos números). Como podemos ver, varia de a , portanto:
A variável está entre a reta azul e a vermelha , assim temos:
Passo 5: A integral passa a ser, então:
Beleza, vamos ver isso melhor nos exercícios agora!
Exercício Resolvido #1
Considere a aplicação definida por:
Utilizando , calcule , onde é a imagem no plano da região no plano limitada pelas retas , e .
Passo 1
Como o enunciado já disse as substituições que devemos fazer, precisamos agora calcular o Jacobiano dessa transformação. Já temos e escritos em função de e , não é?
Temos
Passo 2
Sabemos que, no plano , a região de integração é dada por , como está na integral do problema. Passando as coordenadas para e , a região passa a ser , como o próprio enunciado diz. Agora vamos fazer as substituições na integral:
Passo 3
Agora precisamos descrever essa região , limitada por , e no plano . Vamos fazer um esboço.
Podemos descrevê-la como região do tipo I, com e . A integral iterada será:
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Integrando, agora, em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule onde é a região do plano limitada pelas retas , , e .
Passo 1
Como temos os termos e tanto na integral quanto nos limites da região, vamos fazer a seguinte substituição:
O que podemos reescrever como e .
Passo 2
Temos
Fazendo a substituição na integral, temos, então:
Passo 3
Vamos, agora, analisar a nova região de integração, teremos:
Assim, a integral iterada passa a ser:
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Para concluir a integração, vamos chamar , . Nessa variável, os limites ficam:
Então, a gente pode reescrever a integral como:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Seja . Calcular o valor da integral
Passo 1
Essa expressão parece complicada tanto para integrar em quanto em , pois o termo dentro da raiz quadrada não é muito simples. Vamos, então, procurar uma substituição que facilite essa integração. Faremos:
e
Assim, o radicando passa a ser simplesmente .
Passo 2
Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.
Escrevendo as equações de e de em função das novas variáveis e , temos o sistema:
Temos, então>
Passo 3
Agora vamos calcular os novos intervalos. Como a região de integração fica mais complexa nas variáveis e , vamos fazer o gráfico no plano :
Assim, fica mais fácil ver que e , pois a reta vermelha é . Precisamos, agora, “traduzir” esses limites para as novas variáveis, substituindo os valores que atribuímos a e a . Primeiro o limite em :
Agora, o limite em fica:
Passo 4
Agora vamos montar a nova integral em termos de e :
Passo 5
Integraremos, então, em relação a :
Passo 6
Integraremos, então, em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule onde é a região do primeiro quadrante do plano , limitada pelas curvas , , e .
Passo 1
Como temos os termos e mais de uma vez nas equações que limitam a região de integração, vamos fazer a seguinte substituição:
Passo 2
Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.
Nesse caso, escrever as equações de e de em função das novas variáveis e não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular , vamos calcular (que é o inverso do Jacobiano que queremos).
Temos, então:
Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:
Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de e , as nossas novas variáveis. Porém, isso seria trabalho desnecessário, repare que essa expressão é o inverso do que temos na nossa integral.
Digamos que escrevemos em função de e e encontramos uma expressão , teremos:
Como o termo também está na integral, eles se cancelam! A integral passa a ser então:
Passo 3
Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio . Lembrando da definição das variáveis:
Muito mais simples, não é? A integral iterada será então: