Mudança Qualquer de Variáveis

Teoria Completa

Introdução

A gente viu nos capítulos anteriores como resolver integrais duplas. Mas nem sempre as integrais são simples para resolvermos diretamente, às vezes precisamos “mexer” um pouco nelas. Por exemplo, você sabe calcular a expressão abaixo?

∬ D   x + 2 y sen ⁡ x - 2 y d x d y

Onde D = 0 , 3 × 0,1 .

Meio complicado calcular de forma direta. Não seria muito mais simples se fosse assim? ∬ D   u sen ⁡ ( v ) d u d v

Esse é o objetivo do nosso capítulo! Aprender como mudar as variáveis das integrais, procurando deixá-las mais fáceis de calcular. Você viu algo parecido quando aprendeu integrais simples. Agora, nós vamos levar essa ideia para as integrais duplas.

Então vamos resolver esse exemplo ai!

Passo 1: Para escrevermos da forma mais simples temos que:

u = x + 2 y v = x - 2 y

Ajeitando essas equações ficamos com:

x = u + v 2 e y = u - v 4

Passo 2: Mas sempre que fizermos uma mudança de variável não podemos esquecer de calcular o Jacobiano, que é feito desse jeitinho aqui:

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

No caso do nosso exemplo ficamos com:

∂ x ∂ u = 1 2 ∂ x ∂ v = 1 2 ∂ y ∂ u = 1 4 ∂ y ∂ v = - 1 4

J = 1 2 1 2 1 4 - 1 4 = - 1 4

Passo 3: E aí quando pegamos esse resultado calculado e colocamos na nossa integral, ficando desse jeitinho aqui:

∬ D   u s e n v J d u d v

Percebe que o que a gente multiplica na integral quando fazemos uma mudança é o módulo do Jacobiano. ∬ D   u s e n v - 1 4 d u d v

Podemos colocar essa constante para fora e a nossa integral fica assim:

1 4 ∬ D   u s e n v d u d v

Passo 4: A última coisinha que temos que prestar atenção são os novos limites de integração!

u = x + 2 y v = x - 2 y

Só que como os limites de x são [ 0 x 3 ] e y [ 0 x 1 ] , vamos substituir os valores para achar os novos limites de u e v .

Substituindo, temos que os limites de u são [ 0 x 5 ] e os limites de v são [ 0   x 1 ]

Então nossa integral final fica:

1 4 ∫ 0 1   ∫ 0 5 u s e n v d u d v

Agora é só partir pro abraço e resolver como estamos acostumados!

Agora que ficou mais tranquilinho de entender pelo exemplo vamos ver como se faz de forma genérica!

Lembra que você tinha que calcular a relação entre os diferenciais e os novos limites de integração? Por exemplo, se fazemos x 2 = u , teremos que 2 x   d x = d u . Se os limites iniciais fossem x = a e x = b eles passarão a ser u = a 2 e u = b 2 . Esse método se baseia na seguinte fórmula:

∫ f g x ⋅ g ' x d x = ∫ f u d u

Vamos fazer o equivalente para as integrais duplas, pois não podemos simplesmente trocar as variáveis sem compensar a integral e a região de integração. Vamos transformar uma integral do tipo

∬ D   f x , y   d x d y

Em uma outra integral dessa forma

∬ Q   h u , v   d u d v

Repare que além das variáveis, a função a ser integrada e seu domínio também mudaram!

Teorema da mudança de variáveis

Mas como fazer isso? Tem um teorema para nos ajudar. Vamos considerar uma função diferenciável T que associa cada ponto ( x ,   y ) do domínio D a um único ponto ( u ,   v ) de Q , ou seja:

T u , v = x ,   y

Ou seja, essa função faz a “tradução” entre uma variável e a outra. Então, podemos aplicar essa fórmula:

∬ T Q = D   f x , y   d x d y = ∬ Q   f ( u , v )   ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) d u d v

Ou seja, nós mudamos as variáveis para u e v , reescrevemos o domínio e acrescentamos um termo ao lado da nova integral. Esse termo faz a relação entre os diferenciais, exatamente como fizemos com as Integrais Simples, lembra?

A expressão ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) tem o nome de Jacobiano. Matematicamente, nós o calculamos assim:

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Perceba que o termo que acrescentamos à integral é o módulo do Jacobiano, portanto, | J | .

Nunca, de forma alguma, se esqueça de inserir o Jacobiano quando você trocar as variáveis! Se você esquecer, já vai começar a questão com a integral errada.

Um fato interessante do jacobiano é que ele nunca pode ser 0. Caso você encontre 0, refaça as contas ou faça uma nova mudança de variável.

Talvez você esteja preocupado porque achou que nunca mais veria matrizes na sua vida e agora elas voltaram para te assombrar. Calma, esses determinantes que vamos calcular serão muito simples! E serão sempre 2 × 2 para as integrais duplas, ou seja, temos apenas que subtrair os produtos das diagonais. Dessa forma:

∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = ∂ x ∂ u × ∂ y ∂ v - ∂ x ∂ v × ∂ y ∂ u

Exemplo: Se fizermos a substituição 2 x + 3 = u e - y = v , qual será o termo a acrescentar na integral?

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Temos x = u - 3 2 ·, portanto:

∂ x ∂ u = 1 2

∂ y ∂ v = - 1

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = 0

J = ∂ x ∂ u × ∂ y ∂ v - ∂ x ∂ v × ∂ y ∂ u =

= 1 2 × ( - 1 ) - 0 × 0 = - 1 2 = 1 2

Dica: Algumas vezes você vai fazer substituições em que é complicado isolar o x e o y para calcular as derivadas parciais, por exemplo, x 3 + y = u e v = x y . Nesses casos, tem um jeito mais simples para calcular o Jacobiano.

Se queremos ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J , podemos calcular ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = J * , usando as derivadas parciais de u e v e inverter esse resultado. Pois:

J = 1 J *

Vamos ver isso melhor nos exercícios!

Mudança linear de variáveis

Há diversas formas de substituir variáveis em integrais duplas, mas algumas dessas maneiras são especiais. Vamos ver agora uma delas, que é quando fazemos uma transformação linear. Considere uma transformação linear T definida assim:

x = a u + b v   y = c u + d v

(Sendo a , b , c e d constantes)

O determinante Jacobiano será dado por

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = a b c d = a d - b c

Portanto, quando tivermos uma mudança linear de variáveis, o Jacobiano dessa transformação será sempre um número.

Exemplo: Calcule

∬ D   e y - x y + x     d x d y

Onde D é a região triangular limitada pela reta y + x = 2 e os eixos coordenados.

Passo 1: Observando a integral, vemos que o expoente y - x y + x não é uma expressão muito simples. Então, vamos tentar simplificá-la por meio de substituições. Não seria muito melhor se tivéssemos apenas e u v ? É o que faremos, para isso, vamos definir:

u = y - x e v = y + x

Somando as expressões teremos

u + v = 2 y

Subtraindo as expressões teremos

v - u = 2 x

Portanto:

x = v - u 2 y = u + v 2

Passo 2: Pronto, já escolhemos nossa substituição, agora vamos calcular o seu Jacobiano.

Temos:

∂ x ∂ u = - 1 2

∂ y ∂ v = 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ y ∂ u = 1 2

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 = - 1 2

J = 1 2

Passo 3: Agora vamos calcular os novos intervalos. Antes tínhamos y + x = 2 e os eixos coordenados x = 0 e y = 0 limitando nossa região de integração, vamos substituir as novas variáveis nessas expressões:

x = 0   →   v - u 2 = 0   → u = v

y = 0   →   u + v 2 = 0   → u = - v  

y + x = 2   →   v - u 2 +   u + v 2 = 2   → v = 2

No plano u v , essas expressões definem a seguinte região:

Passo 4: Vamos, agora, escrever esse domínio como tipo II (à esquerda e à direita temos funções e em cima e embaixo temos números). Como podemos ver, v varia de 0 a 2 , portanto:

0 ≤ v ≤ 2

A variável u está entre a reta azul - v = u e a vermelha v = u , assim temos:

- v ≤ u ≤ v

Passo 5: A integral passa a ser, então:

∫ 0 2   ∫ - v v e u v 1 2 d u d v =

= 1 2 ∫ 0 2 v e u v u = - v u = v d v =

= 1 2 ∫ 0 2 v e v v - e - v v d v =

= 1 2 ∫ 0 2 v e - 1 e d v =

= v 2 4 e - 1 e 0 2 =

= e - 1 e

Beleza, vamos ver isso melhor nos exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 185, adaptado.

Considere a aplicação g definida por:

x = u + v

y = v - u 2

Utilizando g , calcule ∬ D   x - y + 1 4 - 1 2 d x d y , onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas retas u = 0 , v = 0 e u + v = 2 .

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Passo 1

Como o enunciado já disse as substituições que devemos fazer, precisamos agora calcular o Jacobiano dessa transformação. Já temos x e y escritos em função de u e v , não é?

x = u + v

y = v - u 2

Temos J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = 1

∂ y ∂ u = - 2 u

∂ y ∂ v = 1

J = 1 1 - 2 u 1 = 1 1 - 1 - 2 u = 1 + 2 u

Passo 2

Sabemos que, no plano x y , a região de integração é dada por D , como está na integral do problema. Passando as coordenadas para u e v , a região passa a ser Q , como o próprio enunciado diz. Agora vamos fazer as substituições na integral:

∬ Q     u + v - v - u 2 + 1 4 - 1 2 ⋅ ( 1 + 2 u ) d u d v =

= ∬ Q   u + u 2 + 1 4 - 1 2 ⋅ ( 1 + 2 u ) d u d v =

= ∬ Q   u + 1 2 2 - 1 2 ⋅ ( 1 + 2 u ) d u d v =

= ∬ Q   u + 1 2 - 1 ⋅ ( 1 + 2 u ) d u d v =

= ∬ Q   2 u + 1 2 - 1 ⋅ ( 1 + 2 u ) d u d v =

= ∬ Q   2 2 u + 1 ⋅ 1 + 2 u d u d v =

∬ Q   2   d u d v

Passo 3

Agora precisamos descrever essa região Q , limitada por u = 0 , v = 0 e u + v = 2 no plano u v . Vamos fazer um esboço.

Podemos descrevê-la como região do tipo I, com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 - u . A integral iterada será:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 2   d v d u =

Passo 4

Integrando em relação a v , temos:

= ∫ 0 2 2 v v = 0 v = 2 - u d u =

= ∫ 0 2 2 2 - u d u =

= ∫ 0 2 4 - 2 u   d u =

Passo 5

Integrando, agora, em relação a u :

= 4 u - u 2 0 2 =

= 8 - 4 =

Resposta

4

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 185, adaptado.

Calcule ∬ D   y + 2 x y - 2 x - 1 d x   d y onde D é a região do plano x y limitada pelas retas y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .

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Passo 1

Como temos os termos ( y + 2 x ) e ( y - 2 x ) tanto na integral quanto nos limites da região, vamos fazer a seguinte substituição:

u = y + 2 x

v = y - 2 x

O que podemos reescrever como y = u + v 2 e x = u - v 4 .

Passo 2

Temos J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

∂ x ∂ u = 1 4

∂ x ∂ v = - 1 4

∂ y ∂ u = 1 2

∂ y ∂ v = 1 2

J = 1 4 - 1 4 1 2 1 2 = 1 8 + 1 8 = 1 4

Fazendo a substituição na integral, temos, então:

1 4 ∬ D *   u v - 1 d u   d v

Passo 3

Vamos, agora, analisar a nova região de integração, teremos:

y - 2 x = 2   → v = 2

y + 2 x = 2   → u = 2

y - 2 x = 1   → v = 1

y + 2 x = 1   → u = 1

Assim, a integral iterada passa a ser:

1 4 ∫ 1 2 ∫ 1 2 u v - 1 d u   d v =

Passo 4

Integrando em relação a u , temos:

= 1 8 ∫ 1 2 u 2 v - 1 u = 1 u = 2 d v =

= 3 8 ∫ 1 2 1 v - 1 d v =

Passo 5

Para concluir a integração, vamos chamar v - 1 = k , d v = d k . Nessa variável, os limites ficam:

v = 1 → k = 1 - 1 = 0

v = 2 → k = 2 - 1 = 1

Então, a gente pode reescrever a integral como:

= 3 8 ∫ 0 1 k - 1 2 d k =

= 3 8 ⋅ 2 k 1 2 0 1 =

= 3 4 ( 1 - 0 ) =

Resposta

3 4

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Cálculo III, P1/2013.2, 1

Seja D = { ( x , y ) ∈ R 2 ; x + y ≥ 0 ,   y ≤ 0 ,   x ≤ 1 } . Calcular o valor da integral

∬ D   x 3 x + y d A

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Passo 1

Essa expressão parece complicada tanto para integrar em x quanto em y , pois o termo dentro da raiz quadrada não é muito simples. Vamos, então, procurar uma substituição que facilite essa integração. Faremos:

u = x e v = x + y

Assim, o radicando passa a ser simplesmente v .

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Escrevendo as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v , temos o sistema:

x = u v = u + y   → y = v - u

Temos, então>

∂ x ∂ u = 1

∂ y ∂ v = 1

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = - 1  

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = 1 0 - 1 1 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular os novos intervalos. Como a região de integração fica mais complexa nas variáveis u e v , vamos fazer o gráfico no plano x y :

Assim, fica mais fácil ver que 0 ≤ x ≤ 1 e - x ≤ y ≤ 0 , pois a reta vermelha é y = - x . Precisamos, agora, “traduzir” esses limites para as novas variáveis, substituindo os valores que atribuímos a x e a y . Primeiro o limite em x :

0 ≤ x ≤ 1   → 0 ≤ u ≤ 1

Agora, o limite em y fica:

- x ≤ y ≤ 0   → - u ≤ v - u ≤ 0

0 ≤ v ≤ u

Passo 4

Agora vamos montar a nova integral em termos de u e v :

∫ 0 1   ∫ 0 u u 3   v 1 2 d v d u =

Passo 5

Integraremos, então, em relação a v :

= ∫ 0 1 2 3 u 3 v 3 2 v = 0 v = u d u =

= 2 3 ∫ 0 1 u 3 u 3 2 d u = 2 3 ∫ 0 1 u 9 2 d u =

Passo 6

Integraremos, então, em relação a u :

= 2 3 × 2 11 u 11 2 0 1 d u =

Resposta

4 33

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 185, adaptado.

Calcule ∬ D   ( 2 x + 1 ) d x d y onde D é a região do primeiro quadrante do plano x y , limitada pelas curvas y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .

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Passo 1

Como temos os termos ( y - x 2 ) e ( x + y ) mais de uma vez nas equações que limitam a região de integração, vamos fazer a seguinte substituição:

u = y - x 2

v = x + y

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J , vamos calcular ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y