Teoria Completa
Já aprendemos a trabalhar com regiões que eram cubinhos. Mas, você acha que acabou? Claro que não, vamos nos divertir muito ainda! Agora vamos ver como calcular a integral tripla em qualquer sólido do espaço!
Tipos de regiões
Como fizemos em integrais duplas, vamos ver que podemos determinar uma mesma região de três tipos diferentes:
Regiões do Tipo I: Em variam entre duas funções e são limitadas no plano por um uma área . Veja a figura abaixo:
Em outras palavras, esse sólido tem como projeção em e é limitado em cima e embaixo por duas superfícies. Tais regiões podem ser escritas dessa forma:
As integrais sobre esse tipo de região são montadas assim:
A região é uma área que pode ser escrita tanto como tipo I ou II, como vimos nas integrais duplas. Por isso, não separamos a integral dupla em integral iterada, dependendo do exercício, esse será substituído por ou por .
Regiões do Tipo II: Em variam entre duas funções e são limitadas no plano por uma área , como na figura abaixo:
Matematicamente, essas regiões podem ser escritas assim:
As integrais serão montadas dessa forma:
Regiões do Tipo III: Em variam entre duas funções e são limitadas no plano por uma área , como podemos ver na figura:
Seguindo o mesmo raciocínio dos itens anteriores, esses sólidos podem ser descritos dessa forma:
E as integrais sobre essas regiões serão feitas assim:
Talvez você esteja achando isso um pouco abstrato por enquanto. Vamos ver um exemplo para entender melhor!
Voltando para aquele nosso exemplo lá da introdução...
Calcule
Onde é o sólido delimitado por , dentro do cilindro
Passo 1: Vamos ter uma noção do sólido fazendo um esboço do mesmo:
OBS: Sempre que você não se lembrar da figura geométrica que sua equação representa, tenta zerar os valores de cada variável, as vezes ajuda a ter uma noção do esboço, por exemplo:
Quando que é uma parábola no plano com ponto mínimo na origem
Quando que é a mesma parábola só que no plano .
Para qualquer valor de temos uma circunferência
O esboço dessa figura (paraboloide) limitado pelo cilindro fica assim:
Perceba que essa região deve ser escrita no tipo I, isso porque os limites de já estão explícitos no enunciado:
Portanto nossa integral fica:
Passo 2: Vamos olhar agora para a projeção do nosso sólido no plano :
Note que, para qualquer tipo de região, depois que escolhemos os limites da primeira integral, vamos cair em uma integral dupla e, para resolvê-la, vamos usar um daqueles métodos vistos no assunto de integral dupla (tipo I ou II, coordenada polar, etc.)
No nosso exemplo, como ficamos com uma circunferência, utilizar o método de coordenada polar parece razoável, né? Temos então:
Com os limites de:
Passo 3: Voltando para a nossa integral
Agora é só fazer as continhas! E você vai achar
O mais chato é escolher o tipo e montar a integral, né? Depois fica mais tranquilo!
Importante!
Às vezes a superfície não vai ter essa carinha que te mostramos. Mas, não desanime! Quando você tiver um termo ao quadrado e esse termo elevado a potência 1, talvez o problema seja que a superfície está deslocada! Como assim? Confere aqui comigo:
Veja que, quando escrevemos o termo , acrescentamos esse termo ao lado direito da equação, portanto, fizemos o mesmo no lado esquerdo. Se ignorarmos o 1 a equação é de um paraboloide. A superfície é, então, um paraboloide centrado não na origem, mas em .
Cálculo do volume de sólidos
Podemos calcular o volume do domínio de integração com o uso de integrais triplas! Sempre que a questão quiser o volume de um sólido , vamos calcular essa integral tripla aqui
Cálculo da massa de sólidos
Uma aplicação da integral tripla é calcular a massa de sólidos! Quando o enunciado te diz que a densidade de um sólido é e pede a massa desse sólido, você vai usar essa fórmula aqui:
Então, veja que calcular a massa de um sólido, nada mais é do que resolver a integral tripla com a função a ser integrada (integrando) igual a densidade do sólido. Montou essa integral? Agora é só resolver como fizemos acima!
Agora vamos para os exercícios de fixação!
Exercício Resolvido #1
Considere a região no primeiro octante delimitada pelo plano e pelo paraboloide .
- Descreva a região delimitada.
- Calcule o volume dessa região.
Passo 1
Letra a)
Bem, vamos começar desenhando essa região ai, para entender melhor o problema. Temos um paraboloide virado para baixo (em vermelho), limitado ao primeiro octante (planos em verde) e cortado pelo plano (em azul).
Para você visualizar melhor, a região é essa aqui:
Beleza?
Passo 2
Como podemos ver, no plano , temos um domínio . Em , o sólido é limitado embaixo pelo plano e em cima pelo outro plano paraboloide. Vamos, então, escrever essa região como tipo I.
Temos a coordenada variando desde até a superfície do paraboloide , logo, . Logo, a região pode ser escrita como:
Passo 3
Vendo a região de cima, podemos descobrir seu domínio , que, no caso, é o seguinte triângulo:
Essa reta azul é onde o plano corta o plano . Portanto, sua equação é a própria equação do plano fazendo , .
Podemos dizer, então, que varia desde até a equação da reta , enquanto varia desde até .
Temos, então:
Portanto,
Passo 4
Letra b)
Bom, o volume desse sólido será , certo?
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:
Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que obedecer a ordem dos intervalos nas integrais. Lembre-se de que o último intervalo (o de fora) dever ser sempre um número.
Passo 5
Integrando em relação a , temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Finamente, integramos em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule o volume do sólido limitado pelo cone e o paraboloide .
Passo 1
Bom, o volume desse sólido será , certo? Agora precisamos descrever a região de integração . Vamos começar fazendo um esboço dela:
A superfície azul é o paraboloide (virado para cima porque temos e multiplicados por termos positivos), e a vermelha, a folha superior do cone (pois não podemos ter raiz negativa).
Como podemos ver, no plano , temos um domínio . Em , o sólido é limitado embaixo pelo paraboloide e em cima pelo cone . Vamos, então, escrever essa região como tipo I:
Passo 2
Agora precisamos descrever o domínio . Para isso, faremos um esboço da projeção do sólido plano :
Fazendo a interseção da equação do cone com a equação do paraboloide, temos:
Em as superfícies se encontram, pois ambas partem da origem. Em temos uma circunferência de raio 1. Então, se a projetarmos no plano , teremos a figura acima. Se substituirmos esse valor nas equações das superfícies, encontramos, de fato, .
Como se trata de uma circunferência, vamos escrevê-la com coordenadas polares:
Passo 3
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos:
Deixamos para escrever os intervalos de depois para não gerar confusão, pois teremos que fazer a mudança para coordenadas polares.
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Agora vamos descrever a região fazendo a mudança para coordenadas polares (não se esqueça do Jacobiano!). Lembre-se também de que .
Passo 6
Integrando em relação a :
Passo 7
Finamente, integramos em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule , onde é a região limitada pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Vamos fazer um esboço dessa região :
Temos o paraboloide “virado de lado” porque o eixo de simetria é o (o termo que não está elevado ao quadrado).
Como varia entre a equação do paraboloide e e temos, no plano , uma projeção do sólido que representa um domínio (um círculo), vamos descrever essa região como tipo II.
Passo 2
Perceba que o paraboloide é formado por várias circunferências paralelas a , que vão aumentando quando aumenta. A projeção no plano vai ser exatamente a maior dessas circunferências, onde o paraboloide corta o plano . Substituindo esse valor na sua equação, temos então a seguinte circunferência: .
A melhor forma de descrever essa área, como já vimos, é por meio de coordenadas polares, fazendo:
Teremos:
Passo 3
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos para a integral iterada. Como tivemos que fazer uma mudança de variáveis para descrever o domínio , vamos escrevê-lo depois da primeira integração, para não gerar confusões. Temos:
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Agora sim, vamos substituir os intervalos de e fazer a substituição polar (Não se esqueça do Jacobiano!).
Você poderia ter feito isso antes, sem problemas. Optamos por fazer assim apenas por questão de organização.
- ''Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Finamente, integramos em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #4
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Bom, o volume desse sólido será , certo? Agora precisamos descrever a região de integração . Vamos começar fazendo um esboço dela: