Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

Teoria Completa

Definição

Até aqui você já viu integrais simples (definidas para funções de uma variável) e integrais duplas (para funções de duas variáveis). Agora vamos expandir mais ainda esse conceito: vamos definir as integrais triplas para funções de três variáveis f ( x , y , z ) . E você achou que não dava pra piorar, né? Calma, não é tão complicado quanto parece : )

Enquanto para as integrais simples o intervalo de integração infinitesimal era d x (um comprimento) e para as duplas era d x d y (uma área), para as triplas teremos um volume infinitesimal d x d y d z = d V , que pode ser representado assim:

Sendo assim, a integral tripla de f ( x , y , z ) é definida dessa forma:

∭ W   f x , y , z d V = lim l ,  m ,  n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 l   ∑ j = 1 m   ∑ k = 1 n f ( x i j k , y i j k , z i j k ) ∆ V

Esse termo dentro do limite é a Soma Tripla de Riemann, muito semelhante com o que vimos para as integrais simples e para as duplas. E assim como vimos para as duplas, o método prático de calcular integrais triplas é através de integrais iteradas. Temos, então, o Teorema de Fubini para integrais triplas:

∭ W   f x , y , z d V = ∫ e f   ∫ c d   ∫ a b f ( x , y , z ) d x d y d z

Ou seja, vamos integrar por etapas, em relação a x , y e z .

Da mesma forma que tínhamos mais de uma ordem de integração para as integrais duplas ( d x d y ou d y d x ), as triplas também podem ser escritas em mais de uma maneira. Na verdade, em seis maneiras! Você deve usar a que for mais conveniente para o exercício.

Mas, e ai, como calcular essas integrais? Seguindo o mesmo raciocínio que usamos para as integrais duplas, lembra como era?

Quando integramos em relação a uma variável, as outras serão tomadas como constantes. Lembre-se sempre que uma integral tripla, como uma dupla, sempre te dá um número, nunca uma função, ou seja, depois de integrar 3 vezes, se você não obteve um número, tem algo errado.

Vamos calcular a seguinte integral tripla:

∭ B   x y z 2 d V

Onde B é o paralelepípedo dado por:

B = { ( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 1 ;   - 1 ≤ y ≤ 2 ; 0 ≤ z ≤ 3 }

Passo 1: Sempre que a nossa região de integração for essa “caixa” limitada por números só, podemos usar qualquer uma das seis ordens de integração, vamos escolher d x d z d y . Como já temos os intervalos de cada variável, é só jogar isso ai na integral. Nesse caso, a integral iterada passa a ser:

∫ - 1 2   ∫ 0 3   ∫ 0 1 x y z 2 d x d z d y =

Repare que y varia de - 1 a 2 , como escrevemos na integral de fora, z varia de 0 a 3 , como está na integral do meio e x varia de 0 a 1 , como na integral de dentro. Você tem que tomar muito cuidado para não confundir os intervalos!

Passo 2: Começaremos integrando em relação a x (integral de dentro):

= ∫ - 1 2   ∫ 0 3 x 2 2 y z 2 x = 0 x = 1   d z d y = ∫ - 1 2 ∫ 0 3 y z 2 2 1 2 - 0 2 d z d y =

= ∫ - 1 2   ∫ 0 3 y z 2 2   d z d y

Passo 3: Agora vamos integrar em relação a z :

= ∫ - 1 2   y z 3 6 z = 0 z = 3 d y = ∫ - 1 2 y 6 3 3 - 0 3 d y = ∫ - 1 2 9 y 2 d y = 27 4

Viu? É muito parecido com o que você fez até agora calculando integrais duplas!

Vamos ver alguns exercícios desse tipo pra fixar bem esse conceito, ele é muito importante para o entendimento do resto desse assunto!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Calcule a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Repare que nessa questão os limites de integração já estão posicionados na integral, é válido lembrar também que devemos resolver sempre de dentro para fora, ou seja, primeiro integraremos em z depois em y e por último em x .

Quando vamos integrar em relação a z , consideramos x e y constantes, lembra? Fica assim então, integrando em z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 z x 2 + z y 2 + z 3 3 z = 0 z = 1 d y d x

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 . x 2 + 1 . y 2 + 1 3 - 0 . x 2 + 0 . x 2 + 0 d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + 1 3   d y d x

Passo 2

Vamos integrar em y agora, certo? Temos que considerar x constante então:

∫ 0 1 y x 2 + y 3 3 + y 3 y = 0 y = 1 d x

= ∫ 0 1 1 . x 2 + 1 3 + 1 3 - 0 . x 2 + 0 + 0 d x =

∫ 0 1 x 2 + 2 3   d x

Passo 3

Integrando em x temos:

x 3 3 + 2 x 3 x = 0 x = 1 =

= 1 3 + 2 3 - 0 + 0 =

= 3 3 = 1

Resposta

1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule a integral:

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x + y + z   d x d y d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver a integral de dentro para fora, certo? Então vamos integrar primeiro x , depois y e finalmente z . Vamos lá?

Para integrar x , vamos considerar y e z como constantes, fica assim:

∫ 1 2 ∫ - 1 1 x 2 2 + x y + x z x = 0 x = 2 d y d z =

= ∫ 1 2 ∫ - 1 1 2 2 2 + 2 y + 2 z - 0 + 0 + 0 d y d z =

= ∫ 1 2 ∫ - 1 1 2 + 2 y + 2 z   d y d z

Passo 2

Para integrar em y , vamos considerar z como constante:

= ∫ 1 2 2 y + 2 y 2 2 + 2 y z y = - 1 y = 1 d z =

Muito cuidado nessa hora! Tem termos de y e de y 2 , então substitua y = 1 e y = - 1 com calma termo por termo!

= ∫ 1 2 [ 2.1 + 2.1 2 2 + 2.1 . z - ( 2 . - 1 +   2 . - 1 2 2 + 2 . - 1 . z ) ] =

∫ 1 2 [ 2 + 1 + 2 z - - 2 + 1 - 2 z   d z =

∫ 1 2 4 + 4 z   d z

Passo 3

Finalmente, integrando em z :

4 z + 4 z 2 2 z = 1 z = 2 =

= 8 + 16 2 - 4 + 4 2 =

= 8 + 8 - 4 + 2 = 16 - 6

= 10

Resposta

10

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Calcule a integral:

∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 π cos ⁡ ( u + v + w )   d u d v d w

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Integrando de dentro para fora, fazemos primeiro a integral em u :

∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ u + v + w u = 0 u = π d v d w =

Obs: Note que quando você deriva s e n ⁡ ( u + v + w ) , pela regra da cadeia, você ficaria com:

sen ⁡ u + v + w ' = cos ⁡ u + v + w . u + v + w ' =

= cos ⁡ u + v + w . 1 + 0 + 0 = cos ⁡ ( u + v + w )

Portanto a integral de cos ⁡ ( u + v + w ) é simplesmente o seno da mesma função!

Voltando para a nossa integral:

∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ u + v + w u = 0 u = π d v d w =

= ∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ ( π + v + w ) - s e n ⁡ ( v + w ) d v d w

Passo 2

Integrando em v :

∫ 0 π - cos ⁡ π + v + w + cos ⁡ v + w v = 0 v = π d w =

= ∫ 0 π - cos ⁡ 2 π + w + cos ⁡ π + w - - cos ⁡ π + w + cos ⁡ w =

= ∫ 0 π - cos ⁡ 2 π + w + 2 cos ⁡ π + w - cos ⁡ w d w

Passo 3

Finalmente, integrando em w :

- sen ⁡ 2 π + w + 2 sen ⁡ π + w - sen ⁡ w w = 0 w = π =

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =

Só que sabemos que sen ⁡ ( k π ) = 0 para qualquer k ∈ Z

Logo:

sen ⁡ 3 π = sen ⁡ 2 π = sen ⁡ π = sen ⁡ 0 = 0

Portanto:

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =