Mudança Qualquer de Variáveis em Integrais Triplas

Produzido por Arthur Melo de Almeida
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Teoria

Olá, galerinha! Se você chegou nesse tópico, você já deve ter resolvido algumas integrais triplas e aqui não será diferente. Só que aqui eu vou te desafiar a resolver uma integral que já adianto que seria bem trabalhosa, caso você fosse resolver pela forma como você ta acostumado. Olha ela aí

∭ W e x + y + z d V

Sendo W a região limitada pelos planos x = - 1 , x = 1 , y + z = - 1 , y + z = 1 , - y + z = - 1 , - y + z = 1 .

Como eu estou aqui te ajudar, já adianto o que vamos fazer nesse tópico: A gente vai usar a mudança de variável. Vamos sempre usar essa técnica quando uma expressão se repetir muito no integrando ou no domínio de integração.

Tá vendo que os termos y + z , - y + z e x se repetem muito na expressão da região W ? Então, vamos fazer

u = y + z

v = - y + z

s = x

O que a gente acabou de fazer foi propor a mudança de variável em termos de u , v , s .

Qual é o próximo passo? Devemos calcular o jacobiano! Que é esse carinha aqui

J = ∂ x , y , z ∂ ( u , v , s ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ s ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ s ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ s

Galera, sempre que a gente fizer uma mudança de variável, vamos ter que calcular o jacobiano, ok!

Po, mas eu não tenho x , y , z em função de u , v , s . Eu tenho exatamente o contrário. O que eu faço então? A gente “inverter” essas derivadas. Isso mesmo, escrever cada derivada parcial trocando o que ta em cima pelo de baixo. Olha como fica e compara as duas.

J ⋆ = ∂ u , v , s ∂ x , y , z = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s ∂ z

Aqui no nosso caso vamos ter

J ⋆ = 0 1 1 0 - 1 1 1 0 0 = 2

O que fazemos agora é usar essa formulinha

J = 1 J ⋆

Ou seja, no nosso caso

J = 1 2

Uma observação importante é que o jacobiano deve ser sempre diferente de zero. Caso dê zero, você deve mudar a substituição!

Agora precisamos mudar os limites da região

x = - 1 → s = - 1

x = 1 → s = 1

y + z = - 1 → u = - 1

y + z = 1 → u = 1

- y + z = - 1 → v = - 1

- y + z = 1 → v = 1

Isso define uma nova região R , no espaço u v s .

Uhul, agora podemos montar a integral nas novas variáveis u , v , s !

∭ W e x + y + z d V = ∭ R e u + s ∂ x , y , z ∂ u , v , s d u d v d s

Assim,

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 e u + s 1 2 d u d v d s

Resolvendo essa integral como estamos acostumados, vamos ter

∭ W e x + y + z d V = e 2 + e - 2 - 2

Em resumo os passos são os seguintes: propomos a mudança, mudamos o domínio de integração e calculamos a integral em termos de u , v , s .

Resolvendo mais um exemplo

Agora vamos resolver essa integral para fixar bem:

∭ W z e x - y x + y + z d V

Sendo W a região limitada pelos planos: x - y = 0 ; x - y = 1 ; x + y + z = 1 ; x + y + z = 2 ; z = 0 ; z = 3

Passo 1: Propor a mudança de variável

u = x - y

v = x + y + z

s = z

Passo 2: Calcular o Jacobiano

J ⋆ = ∂ u , v , s ∂ x , y , z = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s ∂ z = 1 - 1 0 1 1 1 0 0 1 = 2

J = 1 J ⋆ = 1 2

Passo 3: Mudar o limite por região

x - y = 0 → u = 0

x - y = 1 → u = 1

x + y + z = 1 → v = 1

x + y + z = 2 → v = 2

z = 0 → s = 0

z = 3 → s = 3

Isso define uma nova região R , no espaço: 0 ≤ u ≤ 1 ;   1 ≤ v ≤ 2 ;   0 ≤ s ≤ 3 .

Passo 4: Montar e resolver a integral

∫ 0 3 ∫ 1 2 ∫ 0 1 s e u v . 1 2 d u d v d s

Resolvendo essa integral como estamos acostumados, vamos ter

∭ W z e x - y x + y + z d V = 9 4 ln ⁡ 2 . e - 1

Agora é a hora de praticar mais nos exercícios!

Resolvendo mais um exemplo

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