Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Teoria Completa

Definição

Se você entendeu bem o que são coordenadas polares, vai amar as cilíndricas (ok, talvez nem tanto assim...). As coordenadas cilíndricas são basicamente a extensão das polares para três dimensões. Vamos explicar!

Vamos adicionar ao sistema de coordenadas ( r ,   θ ) uma altura, que chamaremos de z :

Repare que, olhando esse gráfico “de cima”, temos exatamente um ponto descrito em coordenadas polares.

Dessa forma, podemos localizar um ponto no espaço fornecendo as coordenadas polares da sua projeção no plano x y e esse valor de z , a altura do ponto. Teremos, então, pontos do tipo ( r ,   θ ,   z ) . Viu? Sem mistério! Basicamente, você “eleva” um ponto escrito em coordenadas polares.

A coordenada r pode ser vista também como a distância horizontal até o eixo z , medida perpendicularmente a esse eixo.

Mudança para coordenadas cilíndricas

A mudança para coordenadas cilíndricas será, então, muito semelhante ao que fazemos para as polares, teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

O Jacobiano dessa transformação será dado por:

J = ∂ x , y , z ∂ ( r , θ , z ) = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ z ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ z ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ z = r

Você, normalmente, vai usar essas mudanças quando tiver uma simetria em relação a um eixo!

Vamos ver um exemplo para deixar tudo mais claro. Vamos determinar o volume do sólido E , que está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

A primeira coisa que devemos fazer é tentar esboçar a região do enunciado. Para esse exemplo, temos algo parecido com isso:

Fica esperto porque o paraboloide está virado para baixo (os termos que multiplicam x 2   e y 2 são negativos).

Tá vendo que existe simetria em relação ao eixo z ? Então vamos usar as mudanças cilíndricas como segue:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Para isso, devemos introduzir as mudanças nas equações dadas para a fronteira. Para o cilindro teremos

x 2 + y 2 = 1 → r = 1

Temos, então, 0 ≤ r ≤ 1 .

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 1 - x 2 - y 2   → z = 1 - r cos ⁡ θ 2 - r   s e n   θ 2

z = 1 - r 2

Esse é o limite inferior de z , o superior é o plano z = 4 .

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 - r 2 ≤ z ≤ 4 }

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada (NÃO SE ESQUEÇA DO JACOBIANO):

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ

Agora vamos integrar como estamos acostumados e obter

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ = 7 π 2

Beleza? Vamos para os exercícios agora! Você vai seguir o mesmo padrão que viu em todos os exercícios de mudança de variáveis: identificar a região, fazer a mudança para coordenadas cilíndricas, escrever a região nessas coordenadas (ou seja, ver como variam r , θ e z ) e finalmente reescrever a integral sem se esquecer do Jacobiano! Daí, é só resolver a integral!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 952, adaptado.

Determine o volume do sólido E , que está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

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Passo 1

O volume que queremos calcular será dado por ∭ E   d x d y d z .

Vamos, então, fazer um esboço da região E para entender melhor o que está sendo pedido:

O paraboloide está virado para baixo porque os termos que multiplicam x 2 e y 2 são negativos.

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, parece uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo a substituição cilíndrica na equação do cilindro, teremos r = 1 , como já vimos. Temos, então, 0 ≤ r ≤ 1

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 1 - x 2 - y 2   → z = 1 - r cos ⁡ θ 2 - r   s e n   θ 2

z = 1 - r 2

Esse é o limite inferior de z , o superior é o plano z = 4 .

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 - r 2 ≤ z ≤ 4 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z z = 1 - r 2 z = 4 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r + r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π 3 r 2 2 + r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= ∫ 0 2 π 3 2 + 1 4 d θ = ∫ 0 2 π 7 4 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 7 θ 4 0 2 π =

Resposta

7 π 2

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Manhã - 2

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 , z = 2 e z = x 2 + y 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema; Temos o semicone z = x 2 + y 2 cortado pelos planos z = 1 e z = 2 :

A região W do problema é esse tronco de cone entre os planos azuis e nós queremos o seu volume:

V = ∭ W   d V

Passo 2

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação do cone, temos:

z = x 2 + y 2 = r

Beleza, agora vamos pensar nos intervalos r ,   θ e z . Como a região dá a volta em torno do eixo z , podemos escrever 0 ≤ θ ≤ 2 π . Como o enunciado mesmo já diz, temos 1 ≤ z ≤ 2 . Beleza.

Agora vamos pensar no intervalo de r . Pela figura, vemos que r varia desde o eixo z , onde r = 0 até a superfície do cone, onde r = z , então 0 ≤ r ≤ z . Temos então:

W = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 ≤ z ≤ 2 ; 0 ≤ r ≤ z  

Passo 3

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

V = ∭ W   d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 z r   d r d z d θ

Agora é só resolver isso aí!

V = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 0 z d z d θ

V = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 z 2 d z d θ

V = 1 6 ∫ 0 2 π z 3 1 2 d θ

V = 7 6 ∫ 0 2 π d θ

V = 7 π 3

Resposta

7 π 3

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 199

Calcule ∭ W   z   d x   d y   d z