Coordenadas Cilíndricas - Cálculo

Teoria Completa

Fala aí, bem vindo ao RespondeAí e se você chegou nessa página é porque provavelmente ficou um pouco confuso com a explicação do seu professor sobre Coordenadas Cilíndricas, então vamos ver um exemplo para entendermos melhor do que se tratam as coordenadas cilíndricas!

As coordenadas cilíndricas são uma maneira de mudar estrategicamente a maneira de representar os pontos de uma curva no $\R^3$. Podemos criar um cilindro por exemplo rotacionando uma linha paralela ao eixo $z$... Vamos ver como definir as coordenadas cilíndricas, acompanhe o raciocínio com a seguinte figura:

Para trabalhar com coordenadas cilíndricas, vamos usar as seguintes variáveis para definir um ponto:

  • $r$ que representa o raio do cilindro;
  • $\theta$ que representa o ângulo de rotação em relação ao eixo $x$ no plano $xy$;
  • $z$ que é a altura em que o ponto está em relação ao plano $xy$

O interessante é que se olharmos "de cima" e ignorarmos a variável $z$ temos exatamente a descrição das coordenadas polares, que já ensinamos aqui: mudança para coordenadas polares.

Para fazer uma mudança de variável temos que saber calcular o Jacobiano da nossa transformação então primeiro precisamos nossas relações entre os diferentes sistemas de coordenadas:

$$x = r.cos(\theta)$$
$$y = r.sen(\theta)$$
$$z=z$$

Montando a matriz Jacobiana dessa mudança e calculando o determinante:

Com a informação do Jacobiano já conseguimos calcular qualquer integral tripla com o auxílio de coordenadas cilíndricas, dá uma olhada no exercício aqui em baixo:

Exercício

Nesse exercício do tópico de Mudança para Variáveis Cilíndricas nosso Expert resolve Passo a Passo para você entender bem esse conceito:

Determine o volume do sólido $E$, que está contido no cilindro $x^2+y^2=1$, abaixo do plano $z=4$ e acima de paraboloide $z=1-x^2-y^2$.

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 952, adaptado.

Determine o volume do sólido E , que está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

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Passo 1

O volume que queremos calcular será dado por ∭ E   d x d y d z .

Vamos, então, fazer um esboço da região E para entender melhor o que está sendo pedido:

O paraboloide está virado para baixo porque os termos que multiplicam x 2 e y 2 são negativos.

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, parece uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo a substituição cilíndrica na equação do cilindro, teremos r = 1 , como já vimos. Temos, então, 0 ≤ r ≤ 1

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 1 - x 2 - y 2   → z = 1 - r cos ⁡ θ 2 - r   s e n   θ 2

z = 1 - r 2

Esse é o limite inferior de z , o superior é o plano z = 4 .

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 - r 2 ≤ z ≤ 4 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z z = 1 - r 2 z = 4 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r + r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π 3 r 2 2 + r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= ∫ 0 2 π 3 2 + 1 4 d θ = ∫ 0 2 π 7 4 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 7 θ 4 0 2 π =

Resposta

7 π 2

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Manhã - 2

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 , z = 2 e z = x 2 + y 2 .

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Passo 1

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema; Temos o semicone z = x 2 + y 2 cortado pelos planos z = 1 e z = 2 :

A região W do problema é esse tronco de cone entre os planos azuis e nós queremos o seu volume:

V = ∭ W   d V

Passo 2

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação do cone, temos:

z = x 2 + y 2 = r

Beleza, agora vamos pensar nos intervalos r ,   θ e z . Como a região dá a volta em torno do eixo z , podemos escrever 0 ≤ θ ≤ 2 π . Como o enunciado mesmo já diz, temos 1 ≤ z ≤ 2 . Beleza.

Agora vamos pensar no intervalo de r . Pela figura, vemos que r varia desde o eixo z , onde r = 0 até a superfície do cone, onde r = z , então 0 ≤ r ≤ z . Temos então:

W = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 ≤ z ≤ 2 ; 0 ≤ r ≤ z  

Passo 3

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

V = ∭ W   d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 z r   d r d z d θ

Agora é só resolver isso aí!

V = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 0 z d z d θ

V = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 z 2 d z d θ

V = 1 6 ∫ 0 2 π z 3 1 2 d θ

V = 7 6 ∫ 0 2 π d θ

V = 7 π 3

Resposta

7 π 3

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 199

Calcule ∭ W   z   d x   d y   d z , onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e 2 z = x 2 + y 2 .

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Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos uma semiesfera, pois não podemos ter raiz negativa z ≥ 0 e um paraboloide virado para cima.

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação da semi-esfera, temos:

z = 8 - r cos ⁡ θ 2 - r sen ⁡ θ 2

z = 8 - r 2

Agora, na equação do paraboloide:

2 z = r cos ⁡ θ 2 + r   sen ⁡ θ 2

2 z = r 2   → z = r 2 / 2

Como os valores de z variam entre o paraboloide e a esfera, temos r 2 / 2 ≤ z ≤ 8 - r 2 . Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , faltam, então, os limites de r . Já sabemos que r ≥ 0 , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

z = 8 - 2 z  

z 2 = 8 - 2 z

z 2 + 2 z - 8 = 0

O que nos dá z = 2 e z = - 4 , mas, como o ponto z = - 4 não pertence ao paraboloide nem à esfera, sabemos que as superfícies se cortam em z = 2 . Vamos descobrir, agora, que curva elas formam, substituindo esse valor na equação de uma das superfícies:

2 z = x 2 + y 2   → 4 = x 2 + y 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio r = 2 , portanto, descobrimos que 0 ≤ r ≤ 2 . Então, podemos escrever a região W como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 2 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   r 2 / 2 ≤ z ≤ 8 - r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 / 2 8 - r 2 z   r   d z   d r   d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r z 2 2 z = r 2 / 2 z = 8 - r 2 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 8 - r 2 2 - r   r 4 8 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r - r 3 2 - r 5 8 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π 2 r 2 - r 4 8 - r 6 48 r = 0 r = 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 8 - 2 - 4 3 d θ = ∫ 0 2 π 14 3 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 14 3 θ θ = 0 θ = 2 π = 28 π 3

Resposta

28 π 3

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Cálculo III, P1/2010.2, 2

Calcule a integral tripla

I = ∭ W   x 2 + y 2 d x d y d z

Onde W é a interseção dos sólidos C = x , y , z x 2 + y 2 ≤ 1 } , P = x , y , z z ≤ 0 } e K = x , y , z z ≥ - x 2 + y 2 }

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Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos um cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 , uma folha de cone dada por z ≥ - x 2 + y 2 e o plano z = 0 limitando W (queremos a região abaixo desse plano).

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam são um cilindro e um cone, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo essa substituição na equação do cone, já vimos que temos z = - r (com sinal negativo porque estamos nos referindo à folha que tem z ≤ 0 ). No cilindro, teremos r = 1 , como também já vimos anteriormente (esse é o valor máximo de r , o mínimo é r = 0 ).

Pelo gráfico, vemos que os valores de z variam entre a superfície do cone e o plano z = 0 , portanto, - r ≤ z ≤ 0 . Vemos, também, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Assim, podemos escrever a região como:

W = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   - r ≤ z ≤ 0 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - r 0 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 r d z d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - r 0 r 2 d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 z z = - r z = 0 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= 1 4 ∫ 0 2 π d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= θ 4 0 2 π =

Resposta

π 2

Exercício Resolvido #5

UFRJ, Cálculo III, P1/2012.2, 2

Calcule a integral tripla

I = ∭ W   z 2 d x d y d z

Onde W é a região limitada pelas superfícies de equações x 2 + y 2 = 4 + z 2 e z = x 2 + y 2 - 4 .

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Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido

A equação z = x 2 + y 2 - 4 representa um paraboloide elíptico “virado” para cima, pois os coeficientes de x 2 e de y 2 são positivos. A outra equação x 2 + y 2 = 4 + z 2 representa uma superfície que estamos vendo nesse capítulo pela primeira vez: um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecia com a do cone, a diferença é que temos um número independente, não apenas as variáveis.

Nossa região é, portanto, esse anel que vemos abaixo, limitado interiormente pelo hiperboloide azul.

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente essa região W . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam possuem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na do paraboloide:

x 2 + y 2 = 4 + z 2   → r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 4 + z 2    

r 2 = 4 + z 2

z = x 2 + y 2 - 4   → z = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 - 4

z = r 2 - 4

Pela figura, vemos que r varia entre as duas superfícies, então, temos 4 + z 2 ≤ r ≤ 4 + z . Vemos, também, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Falta, então, o intervalo de z . Para isso, temos que encontrar as duas alturas onde as superfícies se cortam:

r 2 = 4 + z 2

  z = r 2 - 4   → r 2 = z + 4

4 + z 2 = z + 4

z 2 - z = 0

z = 0 z = 1

As interseções são, portanto duas circunferências: uma em altura z = 0 e outra em z = 1 .

Assim, escrevermos a região como:

W = { ( r , θ , z ) | 4 + z 2 ≤ r ≤ 4 + z ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   0 ≤ z ≤ 1 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 4 + z 2 4 + z z 2 r d r d z d θ =

Passo 4

Integrando em relação a r , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 r 2 2 r = 4 + z 2 r = 4 + z d z d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 2 4 + z - 4 - z 2 d z d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 3 - z 4 d z d θ =

Passo 5

Agora, integramos em relação a z :

= 1 2 ∫ 0 2 π z 4 4 - z 5 5 z = 0 z = 1 d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π 1 4 - 1 5 d θ =

= 1 40 ∫ 0 2 π d θ =

Passo 6

Finamente, integramos em relação a θ :

= θ 40 0 2 π =

= 1 40 2 π - 0 =

Resposta

π 20

Exercício Resolvido #6

Coordenadas cilíndricas

Seja R a região interior à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 que satisfaz x 2 + y 2 - z 2 ≤ 1 e z ≥ 0 .

  1. Descreva R em coorden