menu
menu Acesse com Google menu Acesse com Facebook

Mudança para Coordenadas Cilíndricas

  • Teoria Completa
  • Exercícios Resolvidos Passo a Passo
Pagina Inicial > Cálculo > Integrais Triplas > Mudança para Coordenadas Cilíndricas
Integrais Triplas
  • Integrais Triplas em Regiões Cúbicas
  • Integrais Triplas em Regiões Gerais
  • Mudança da Ordem de Integração
  • Mudança Qualquer de Variáveis
  • Mudança para Coordenadas Cilíndricas
  • Mudança para Coordenadas Esféricas
  • Alterações na Mudança de Variável
  • Valores Médios em Sólidos
  • Centro de Massa e Centroide de Sólidos
  • Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos
Veja Mais
  • Lista de Exercícios de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Teoria Completa

Definição

Se você entendeu bem o que são coordenadas polares, vai amar as cilíndricas (ok, talvez nem tanto assim...). As coordenadas cilíndricas são basicamente a extensão das polares para três dimensões. Vamos explicar!

Vamos adicionar ao sistema de coordenadas ( r ,   θ ) uma altura, que chamaremos de z :

Repare que, olhando esse gráfico “de cima”, temos exatamente um ponto descrito em coordenadas polares.

Dessa forma, podemos localizar um ponto no espaço fornecendo as coordenadas polares da sua projeção no plano x y e esse valor de z , a altura do ponto. Teremos, então, pontos do tipo ( r ,   θ ,   z ) . Viu? Sem mistério! Basicamente, você “eleva” um ponto escrito em coordenadas polares.

A coordenada r pode ser vista também como a distância horizontal até o eixo z , medida perpendicularmente a esse eixo.

Mudança para coordenadas cilíndricas

A mudança para coordenadas cilíndricas será, então, muito semelhante ao que fazemos para as polares, teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

O Jacobiano dessa transformação será dado por:

J = ∂ x , y , z ∂ ( r , θ , z ) = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ z ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ z ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ z = r

Você, normalmente, vai usar essas mudanças quando tiver uma simetria em relação a um eixo!

Vamos ver um exemplo para deixar tudo mais claro. Vamos determinar o volume do sólido E , que está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

A primeira coisa que devemos fazer é tentar esboçar a região do enunciado. Para esse exemplo, temos algo parecido com isso:

Fica esperto porque o paraboloide está virado para baixo (os termos que multiplicam x 2   e y 2 são negativos).

Tá vendo que existe simetria em relação ao eixo z ? Então vamos usar as mudanças cilíndricas como segue:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Para isso, devemos introduzir as mudanças nas equações dadas para a fronteira. Para o cilindro teremos

x 2 + y 2 = 1 → r = 1

Temos, então, 0 ≤ r ≤ 1 .

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 1 - x 2 - y 2   → z = 1 - r cos ⁡ θ 2 - r   s e n   θ 2

z = 1 - r 2

Esse é o limite inferior de z , o superior é o plano z = 4 .

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 - r 2 ≤ z ≤ 4 }

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada (NÃO SE ESQUEÇA DO JACOBIANO):

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ

Agora vamos integrar como estamos acostumados e obter

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ = 7 π 2

Beleza? Vamos para os exercícios agora! Você vai seguir o mesmo padrão que viu em todos os exercícios de mudança de variáveis: identificar a região, fazer a mudança para coordenadas cilíndricas, escrever a região nessas coordenadas (ou seja, ver como variam r , θ e z ) e finalmente reescrever a integral sem se esquecer do Jacobiano! Daí, é só resolver a integral!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 952, adaptado.

Determine o volume do sólido E , que está contido no cilindro x 2 + y 2 = 1 , abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O volume que queremos calcular será dado por ∭ E   d x d y d z .

Vamos, então, fazer um esboço da região E para entender melhor o que está sendo pedido:

O paraboloide está virado para baixo porque os termos que multiplicam x 2 e y 2 são negativos.

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, parece uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo a substituição cilíndrica na equação do cilindro, teremos r = 1 , como já vimos. Temos, então, 0 ≤ r ≤ 1

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

z = 1 - x 2 - y 2   → z = 1 - r cos ⁡ θ 2 - r   s e n   θ 2

z = 1 - r 2

Esse é o limite inferior de z , o superior é o plano z = 4 .

Agora falta a variável θ . Uma vez que o sólido está envolta do eixo z , temos que θ varia entre 0 e 2 π . Então, podemos escrever a região E como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 - r 2 ≤ z ≤ 4 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 - r 2 4 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z z = 1 - r 2 z = 4 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r + r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π 3 r 2 2 + r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= ∫ 0 2 π 3 2 + 1 4 d θ = ∫ 0 2 π 7 4 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 7 θ 4 0 2 π =

Resposta

7 π 2

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Manhã - 2

Calcule, usando integração, o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 , z = 2 e z = x 2 + y 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema; Temos o semicone z = x 2 + y 2 cortado pelos planos z = 1 e z = 2 :

A região W do problema é esse tronco de cone entre os planos azuis e nós queremos o seu volume:

V = ∭ W   d V

Passo 2

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação do cone, temos:

z = x 2 + y 2 = r

Beleza, agora vamos pensar nos intervalos r ,   θ e z . Como a região dá a volta em torno do eixo z , podemos escrever 0 ≤ θ ≤ 2 π . Como o enunciado mesmo já diz, temos 1 ≤ z ≤ 2 . Beleza.

Agora vamos pensar no intervalo de r . Pela figura, vemos que r varia desde o eixo z , onde r = 0 até a superfície do cone, onde r = z , então 0 ≤ r ≤ z . Temos então:

W = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   1 ≤ z ≤ 2 ; 0 ≤ r ≤ z  

Passo 3

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

V = ∭ W   d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 z r   d r d z d θ

Agora é só resolver isso aí!

V = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 0 z d z d θ

V = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 z 2 d z d θ

V = 1 6 ∫ 0 2 π z 3 1 2 d θ

V = 7 6 ∫ 0 2 π d θ

V = 7 π 3

Resposta

7 π 3

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 199

Calcule ∭ W   z   d x   d y   d z , onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e 2 z = x 2 + y 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos uma semiesfera, pois não podemos ter raiz negativa z ≥ 0 e um paraboloide virado para cima.

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação da semi-esfera, temos:

z = 8 - r cos ⁡ θ 2 - r sen ⁡ θ 2

z = 8 - r 2

Agora, na equação do paraboloide:

2 z = r cos ⁡ θ 2 + r   sen ⁡ θ 2

2 z = r 2   → z = r 2 / 2

Como os valores de z variam entre o paraboloide e a esfera, temos r 2 / 2 ≤ z ≤ 8 - r 2 . Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , faltam, então, os limites de r . Já sabemos que r ≥ 0 , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

z = 8 - 2 z  

z 2 = 8 - 2 z

z 2 + 2 z - 8 = 0

O que nos dá z = 2 e z = - 4 , mas, como o ponto z = - 4 não pertence ao paraboloide nem à esfera, sabemos que as superfícies se cortam em z = 2 . Vamos descobrir, agora, que curva elas formam, substituindo esse valor na equação de uma das superfícies:

2 z = x 2 + y 2   → 4 = x 2 + y 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio r = 2 , portanto, descobrimos que 0 ≤ r ≤ 2 . Então, podemos escrever a região W como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 2 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   r 2 / 2 ≤ z ≤ 8 - r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 / 2 8 - r 2 z   r   d z   d r   d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r z 2 2 z = r 2 / 2 z = 8 - r 2 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 8 - r 2 2 - r   r 4 8 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r - r 3 2 - r 5 8 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π 2 r 2 - r 4 8 - r 6 48 r = 0 r = 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 8 - 2 - 4 3 d θ = ∫ 0 2 π 14 3 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 14 3 θ θ = 0 θ = 2 π = 28 π 3

Resposta

28 π 3

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Cálculo III, P1/2010.2, 2

Calcule a integral tripla

I = ∭ W   x 2 + y 2 d x d y d z

Onde W é a interseção dos sólidos C = x , y , z x 2 + y 2 ≤ 1 } , P = x , y , z z ≤ 0 } e K = x , y , z z ≥ - x 2 + y 2 }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos um cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 , uma folha de cone dada por z ≥ - x 2 + y 2 e o plano z = 0 limitando W (queremos a região abaixo desse plano).

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam são um cilindro e um cone, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo essa substituição na equação do cone, já vimos que temos z = - r (com sinal negativo porque estamos nos referindo à folha que tem z ≤ 0 ). No cilindro, teremos r = 1 , como também já vimos anteriormente (esse é o valor máximo de r , o mínimo é r = 0 ).

Pelo gráfico, vemos que os valores de z variam entre a superfície do cone e o plano z = 0 , portanto, - r ≤ z ≤ 0 . Vemos, também, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Assim, podemos escrever a região como:

W = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   - r ≤ z ≤ 0 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - r 0 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 r d z d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - r 0 r 2 d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 z z = - r z = 0 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= ∫ 0 2 π r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= 1 4 ∫ 0 2 π d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= θ 4 0 2 π =

Resposta

π 2

Exercício Resolvido #5

UFRJ, Cálculo III, P1/2012.2, 2

Calcule a integral tripla

I = ∭ W   z 2 d x d y d z

Onde W é a região limitada pelas superfícies de equações x 2 + y 2 = 4 + z 2 e z = x 2 + y 2 - 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido

A equação z = x 2 + y 2 - 4 representa um paraboloide elíptico “virado” para cima, pois os coeficientes de x 2 e de y 2 são positivos. A outra equação x 2 + y 2 = 4 + z 2 representa uma superfície que estamos vendo nesse capítulo pela primeira vez: um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecia com a do cone, a diferença é que temos um número independente, não apenas as variáveis.

Nossa região é, portanto, esse anel que vemos abaixo, limitado interiormente pelo hiperboloide azul.

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente essa região W . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam possuem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na do paraboloide:

x 2 + y 2 = 4 + z 2   → r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 4 + z 2    

r 2 = 4 + z 2

z = x 2 + y 2 - 4   → z = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 - 4

z = r 2 - 4

Pela figura, vemos que r varia entre as duas superfícies, então, temos 4 + z 2 ≤ r ≤ 4 + z . Vemos, também, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Falta, então, o intervalo de z . Para isso, temos que encontrar as duas alturas onde as superfícies se cortam:

r 2 = 4 + z 2

  z = r 2 - 4   → r 2 = z + 4

4 + z 2 = z + 4

z 2 - z = 0

z = 0 z = 1