Anti-Derivação – Função Hiperbólica

Teoria Completa

Para a alegria geral da nação, esse tópico vai ser bem rápido de tratar. E quando eu digo rápido, não estou brincando!

São 3 funções hiperbólicas que costumam aparecer:

cosh ⁡ x senh ⁡ x tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

E as antiderivadas delas são:

∫ cosh ⁡ x d x = senh ⁡ x + C

∫ senh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C

∫ tgh ⁡ x d x = ln ⁡ cosh ⁡ x + C

Pronto! É só isso!

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Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 27.

Calcule a integral

∫ 3 cosh ⁡ x - senh ⁡ x - 2 tgh ⁡ x + sen ⁡ x d x

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Passo 1

A integral da subtração é a subtração das integrais, então essa integral é igual a:

∫ 3 cosh ⁡ x d x - ∫ senh ⁡ x d x - ∫ 2 tgh ⁡ x + sen ⁡ x d x

Passo 2

Podemos botar as constantes pra fora da primeira e da terceira integral:

∫ 3 cosh ⁡ x d x = 3 ∫ cosh ⁡ x d x

∫ 2 tgh ⁡ x + sen ⁡ x d x = 2 ∫ tgh ⁡ x + sen ⁡ x d x

Ainda podemos abrir essa última integral em mais duas:

2 ∫ tgh ⁡ x + sen ⁡ x d x = 2 ∫ tgh ⁡ x d x + 2 ∫ sen ⁡ x d x

Passo 3

Beleza, então a integral do enunciado ficou assim:

3 ∫ cosh ⁡ x d x - ∫ senh ⁡ x d x - 2 ∫ tgh ⁡ x d x + 2 ∫ sen ⁡ x d x

= 3 ∫ cosh ⁡ x d x - ∫ senh ⁡ x d x - 2 ∫ tgh ⁡ x d x - 2 ∫ sen ⁡ x d x

O que dá:

3 senh ⁡ x - cosh ⁡ x - 2 ln ⁡ cosh ⁡ x + 2 cos ⁡ x + C

Resposta

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral

∫ senh ⁡ x + e x 2 + senh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x

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Passo 1

A integral da soma é a soma das integrais, então isso é igual a:

∫ senh ⁡ x + e x 2 d x + ∫ senh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x

Passo 2

Na primeira integral dá pra botar o 1 2 pra fora:

∫ senh ⁡ x + e x 2 d x = 1 2 ∫ senh ⁡ x + e x d x

E ainda dá pra separar em duas integrais:

1 2 ∫ senh ⁡ x d x + 1 2 ∫ e x d x

Passo 3

E a outra integral dá pra melhorar legal também:

∫ senh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x = ∫ senh ⁡ x cosh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x

= ∫ tgh ⁡ x + 1 d x = ∫ tgh ⁡ x d x + ∫ 1 d x

Passo 4

Show, então nossa integral original virou:

1 2 ∫ senh ⁡ x d x + 1 2 ∫ e x d x + ∫ tgh ⁡ x d x + ∫ 1 d x

O que dá:

1 2 cosh ⁡ x + 1 2 e x + ln ⁡ cosh ⁡ x + x + C

Resposta

1 2 cosh ⁡ x + 1 2 e x + ln ⁡ cosh ⁡ x + x + C

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral

∫ senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x d x

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Passo 1

Pra gente resolver essa integral, vamos ter que usar a definição das funções hiperbólicas. Saca só:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ao quadrado, pra senh ⁡ x , temos:

senh 2 ⁡ x = e x - e - x e x - e - x 4

senh 2 ⁡ x = e x e x - e x e - x - e - x e x + e - x e - x 4

senh 2 ⁡ x = e 2 x - 2 + e - 2 x 4 =   e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4

senh 2 ⁡ x = 1 2 e 2 x + e - 2 x 2 - 1 2 = cosh ⁡ 2 x - 1 2

E pro cosh ⁡ x , temos:

cosh 2 ⁡ x = e x + e - x e x + e - x 4

cosh 2 ⁡ x = e x e x + e x e - x + e - x e x + e - x e - x 4

cosh 2 ⁡ x = e 2 x + 2 + e - 2 x 4 =   e 2 x + e - 2 x 4 + 2 4

cosh 2 ⁡ x = 1 2 e 2 x + e - 2 x 2 + 1 2 = cosh ⁡ 2 x + 1 2

Logo:

senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x = cosh ⁡ 2 x - 1 2 - cosh ⁡ 2 x + 1 2 = - 2 2 =   - 1

E por fim:

∫ senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x d x = ∫ - 1 d x

Passo 2

Essa ultima integral é tranquilona, a integral de uma constante vai ser uma reta! Então fechamos com:

∫ - 1 d x = - x + C

Resposta

∫ senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x d x = - x + C

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral

∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x 4 + sen ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x + cosh ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A integral da soma é a soma das integrais, então isso é igual a:

∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x 4 d x + ∫ sen ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x d x + ∫ cosh ⁡ x d x

Passo 2

Na primeira integral dá pra botar o 1 4 pra fora:

∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x 4 d x = 1 4 ∫ senh ⁡ x + cos ⁡ x d x

E ainda dá pra separar em duas integrais:

1 4 ∫ senh ⁡ x d x + 1 4 ∫ cos ⁡ x d x

Passo 3

E a outra integral dá pra melhorar legal também:

∫ sen ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x cos ⁡ x d x

= ∫ tg ⁡ x + 1 d x = ∫ tg ⁡ x d x + ∫ 1 d x

Passo 4

Show, então nossa integral original virou:

1 4 ∫ senh ⁡ x d x + 1 4 ∫ cos ⁡ x d x + ∫ tg ⁡ x d x + ∫ 1 d x + ∫ cosh ⁡ x d x

O que dá:

1 4 cosh ⁡ x + 1 4 sin ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + x + + sinh ⁡ x + C

Resposta

1 4 cosh ⁡ x + 1 4 sin ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + x + + sinh ⁡ x + C

Exercício Resolvido #5

Calcule a integral

∫ x senh ⁡ x + x 5 cosh ⁡ x x cosh ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A integral da soma é a soma das integrais, então isso é igual a:

∫ x senh ⁡ x x cosh ⁡ x d x + ∫ x 5 cosh ⁡ x x cosh ⁡ x d x

Passo 2

Na primeira integral dá pra cortar os x :

∫ x senh ⁡ x x cosh ⁡ x d x = ∫ senh ⁡ x cosh ⁡ x d x = ∫ tgh ⁡ x   d x

E resolvendo essa integral, ficamos com:

∫ tgh ⁡ x   d x = ln ⁡ cosh ⁡ x

Passo 3

E a outra integral dá pra simplificar legal também:

∫ x 5 cosh ⁡ x x cosh ⁡ x d x = ∫ x 4 d x = x 5 5

Passo 4

Show, então nossa integral original virou:

∫ tgh ⁡ x   d x + ∫ x 4 d x

O que dá:

ln ⁡ cosh ⁡ x + x 5 5 + C

Resposta

∫ x senh ⁡ x + x 5 cosh ⁡ x x cosh ⁡ x d x = ln ⁡ cosh ⁡ x + x 5 5 + C

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