Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

Teoria Completa

Graças a esse teorema, vamos finalmente aprender a calcular integrais definidas.

Ele nos diz que:

Se f é contínua em [ a , b ] , então:

∫ a b f ( x ) d x = F b - F a ,     onde   F   é qualquer primitiva de   f

Por exemplo, vamos calcular

∫ 0 1 x 2 d x

Bom, o primeiro passo é calcular a primitiva de x 2 . Eba, isso a gente já sabe fazer!

F x = x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3

∫ 0 1 x 2 d x = F 1 - F ( 0 )

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 - 0 = 1 3

Repara que eu não coloquei aquela constante mágica C que eu te falei mil vezes para não esquecer. Então, pras integrais definidas vamos simplesmente cagar pra essa constante, ok?

Olha o que aconteceria se a gente botasse ela:

F x = x 3 3 + C

∫ 0 1 x 2 d x = F 1 - F ( 0 )

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 + C - ( 0 + C )

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 + C - 0 - C

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3

A constante desaparece quando eu faço a diferença! É por isso que você não precisa se preocupar com ela quando quer uma integral definida! Sacou? :)

Notação

A notação usada pra calcular a integral definida é a seguinte:

∫ a b f ( x ) d x = F x   x = a x = b = F b - F a

É só uma forma de escrever que facilita um pouco.

Pronto! Entendeu agora? Como já diziam por aí: Nada se cria, nada se perde e tudo se encaixa!

Agora a bola está com você! Siga para os exercícios para treinar essa parada!

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Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2012.1 - 2 a

Calcule as integrais:

  ∫ 0 4 x + 2 5 x   d x

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Passo 1

Bom, basicamente, queremos resolver uma integral definida.

Já sabemos, pelo teorema da variação total que, nesse caso, temos que achar a primitiva da função e depois calcular a diferença entre F 4 e F ( 0 ) , lembra?

Passo 2

E como eu calculo a primitiva dessa função?

Bom, lembra que por enquanto você só sabe resolver integrais imediatas. E agora que você já treinou achar as primitivas, você deve ter sacado que eu posso usar uma propriedade distributiva marota ali e cair em uma integral de polinômios, que eu sei resolver de boa, né não?

É só lembrar que 5 x é o mesmo que 5 x   e que x = x 1 2 .

Aí é só correr pro abraço:

∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = ∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = ∫ 0 4 x + 2 5   x 1 2 .   d x

Lembrando que 5 é uma constante e pode sair da integral:

5 ∫ 0 4 x + 2   x 1 2 .   d x = 5 ∫ 0 4 x 3 2 + 2 x 1 2   d x

Passo 3

A primitiva dessa função nós já sabemos encontrar:

= 5   x 3 2 + 1 3 2 + 1 + 2 x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 4  

= 5   x 5 2 5 2 + 2 x 3 2 3 2 0 4

= 5 2 x 5 2 5 + 4 x 3 2 3 0 4

= 5   2   4 5 2 5 + 4 4 3 2 3 - 2 0 5 + 4 0 3

= 5 2 2 2 5 2 5 + 4 2 2 3 2 ) 3

= 5 2 2 5 5 + 4 2 3 ) 3

= 5 2 32 5 + 4   8 3

= 5 64 5 + 32 3 = 5 64.3 15 + 32.5 15 = 5 64.3 15 + 32.5 15

= 5 192 15 + 160 15

= 352 15 5

Resposta

∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = 352 15 5

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.1 - 4a

Calcule a integral

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x  

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Passo 1

Temos aí uma integral definida. O famoso Teorema da variação total nos diz que temos que achar a primitiva da função e depois calcular a diferença entre F 3 e F ( 0 ) , não é mesmo?

Então o nosso problema é achar a primitiva dessa função. Mas isso não é um problema para você, ouvi dizer...

Passo 2

Bom, se você lembrar que x = x 1 2 , você logo vai perceber que, se dividir o numerador pelo denominador, seus problemas acabaram!

Vamos transformar isso tudo em polinômios, lembrando que x = x 1 2

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x   = ∫ 0 3 x 3 - 2 x 1 2 d x   = ∫ 0 3 x 3 x 1 2 - 2 x 1 2 d x  

= ∫ 0 3 x 3 - 1 2 - 2 x - 1 2 d x  

= ∫ 0 3 x 5 2 - 2 x - 1 2 d x  

Passo 3

Lembra da integral de polinômio, né? Basta somar 1 ao expoente e dividir por esse novo expoente:

∫ 0 3 x 5 2 - 2 x - 1 2 d x   = x 5 2 + 1 5 2 + 1 - 2 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1   | 3 0

= x 7 2 7 2 - 2 x 1 2 1 2   | 3 0

= 2   x 7 2 7 - 4 x 1 2 | 3 0

= 2   ( 3 ) 7 2 7 - 4 ( 3 ) 1 2 - 2   ( 0 ) 7 2 7 - 4 ( 0 ) 1 2  

Um detalhe importante é entender que:

3 7 2 = 3 7 = 3 3 3 = 27 3

Então vamos ter:

= 2 .   27 3 7 - 4 3 = 54 3 7 - 28 3 7 = 26 3 7

Resposta

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x   = 26 3 7

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral.

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x

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Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração. Show, então vamos lá.

A primeira coisa a notar é que essa integral é uma soma de duas funções, então podemos reescrever para:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   ∫ 0 1 e x d x + ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x

Então vamos fazer uma coisa de cada vez pra não nos embolarmos, primeiro uma integral, depois a outra. Vamo que vamo:

Passo 2

Na primeira integral, resolvemos diretamente se lembrarmos da regrinha

∫ e x d x = e x + C

Essa é a famosa função que é igual à sua integral e a sua derivada

Nesse caso, como a integral é definida, nem esquenta a cabeça com + C , ok? A primitiva dessa função vai ser só ela mesma:

∫ e x d x = e x = F x

E como a integral é definida:

∫ 0 1 e x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 e x d x = e 1 - e 0 =   e - 1

Passo 3

A segunda integral também tiramos de letra se lembrarmos da regrinha:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x + C

Como a integral é definida:

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 = π 4 - 0 = π 4

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, só juntar os resultados todos, achamos que:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   ∫ 0 1 e x d x + ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x

E que:

∫ 0 1 e x d x =   e - 1

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = π 4

Então a integral definida tem o valor:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

Resposta

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4