Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

Teoria Completa

Graças a esse teorema, vamos finalmente aprender a calcular integrais definidas.

Ele nos diz que:

Se f é contínua em [ a , b ] , então:

∫ a b f ( x ) d x = F b - F a ,     onde   F   é qualquer primitiva de   f

Por exemplo, vamos calcular

∫ 0 1 x 2 d x

Bom, o primeiro passo é calcular a primitiva de x 2 . Eba, isso a gente já sabe fazer!

F x = x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3

∫ 0 1 x 2 d x = F 1 - F ( 0 )

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 - 0 = 1 3

Repara que eu não coloquei aquela constante mágica C que eu te falei mil vezes para não esquecer. Então, pras integrais definidas vamos simplesmente cagar pra essa constante, ok?

Olha o que aconteceria se a gente botasse ela:

F x = x 3 3 + C

∫ 0 1 x 2 d x = F 1 - F ( 0 )

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 + C - ( 0 + C )

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 + C - 0 - C

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3

A constante desaparece quando eu faço a diferença! É por isso que você não precisa se preocupar com ela quando quer uma integral definida! Sacou? :)

Notação

A notação usada pra calcular a integral definida é a seguinte:

∫ a b f ( x ) d x = F x   x = a x = b = F b - F a

É só uma forma de escrever que facilita um pouco.

Pronto! Entendeu agora? Como já diziam por aí: Nada se cria, nada se perde e tudo se encaixa!

Agora a bola está com você! Siga para os exercícios para treinar essa parada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2012.1 - 2 a

Calcule as integrais:

  ∫ 0 4 x + 2 5 x   d x

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Passo 1

Bom, basicamente, queremos resolver uma integral definida.

Já sabemos, pelo teorema da variação total que, nesse caso, temos que achar a primitiva da função e depois calcular a diferença entre F 4 e F ( 0 ) , lembra?

Passo 2

E como eu calculo a primitiva dessa função?

Bom, lembra que por enquanto você só sabe resolver integrais imediatas. E agora que você já treinou achar as primitivas, você deve ter sacado que eu posso usar uma propriedade distributiva marota ali e cair em uma integral de polinômios, que eu sei resolver de boa, né não?

É só lembrar que 5 x é o mesmo que 5 x   e que x = x 1 2 .

Aí é só correr pro abraço:

∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = ∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = ∫ 0 4 x + 2 5   x 1 2 .   d x

Lembrando que 5 é uma constante e pode sair da integral:

5 ∫ 0 4 x + 2   x 1 2 .   d x = 5 ∫ 0 4 x 3 2 + 2 x 1 2   d x

Passo 3

A primitiva dessa função nós já sabemos encontrar:

= 5   x 3 2 + 1 3 2 + 1 + 2 x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 4  

= 5   x 5 2 5 2 + 2 x 3 2 3 2 0 4

= 5 2 x 5 2 5 + 4 x 3 2 3 0 4

= 5   2   4 5 2 5 + 4 4 3 2 3 - 2 0 5 + 4 0 3

= 5 2 2 2 5 2 5 + 4 2 2 3 2 ) 3

= 5 2 2 5 5 + 4 2 3 ) 3

= 5 2 32 5 + 4   8 3

= 5 64 5 + 32 3 = 5 64.3 15 + 32.5 15 = 5 64.3 15 + 32.5 15

= 5 192 15 + 160 15

= 352 15 5

Resposta

∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = 352 15 5

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.1 - 4a

Calcule a integral

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos aí uma integral definida. O famoso Teorema da variação total nos diz que temos que achar a primitiva da função e depois calcular a diferença entre F 3 e F ( 0 ) , não é mesmo?

Então o nosso problema é achar a primitiva dessa função. Mas isso não é um problema para você, ouvi dizer...

Passo 2

Bom, se você lembrar que x = x 1 2 , você logo vai perceber que, se dividir o numerador pelo denominador, seus problemas acabaram!

Vamos transformar isso tudo em polinômios, lembrando que x = x 1 2

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x   = ∫ 0 3 x 3 - 2 x 1 2 d x   = ∫ 0 3 x 3 x 1 2 - 2 x 1 2 d x  

= ∫ 0 3 x 3 - 1 2 - 2 x - 1 2 d x  

= ∫ 0 3 x 5 2 - 2 x - 1 2 d x  

Passo 3

Lembra da integral de polinômio, né? Basta somar 1 ao expoente e dividir por esse novo expoente:

∫ 0 3 x 5 2 - 2 x - 1 2 d x   = x 5 2 + 1 5 2 + 1 - 2 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1   | 3 0

= x 7 2 7 2 - 2 x 1 2 1 2   | 3 0

= 2   x 7 2 7 - 4 x 1 2 | 3 0

= 2   ( 3 ) 7 2 7 - 4 ( 3 ) 1 2 - 2   ( 0 ) 7 2 7 - 4 ( 0 ) 1 2  

Um detalhe importante é entender que:

3 7 2 = 3 7 = 3 3 3 = 27 3

Então vamos ter:

= 2 .   27 3 7 - 4 3 = 54 3 7 - 28 3 7 = 26 3 7

Resposta

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x   = 26 3 7

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral.

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x

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Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração. Show, então vamos lá.

A primeira coisa a notar é que essa integral é uma soma de duas funções, então podemos reescrever para:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   ∫ 0 1 e x d x + ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x

Então vamos fazer uma coisa de cada vez pra não nos embolarmos, primeiro uma integral, depois a outra. Vamo que vamo:

Passo 2

Na primeira integral, resolvemos diretamente se lembrarmos da regrinha

∫ e x d x = e x + C

Essa é a famosa função que é igual à sua integral e a sua derivada

Nesse caso, como a integral é definida, nem esquenta a cabeça com + C , ok? A primitiva dessa função vai ser só ela mesma:

∫ e x d x = e x = F x

E como a integral é definida:

∫ 0 1 e x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 e x d x = e 1 - e 0 =   e - 1

Passo 3

A segunda integral também tiramos de letra se lembrarmos da regrinha:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x + C

Como a integral é definida:

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 = π 4 - 0 = π 4

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, só juntar os resultados todos, achamos que:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   ∫ 0 1 e x d x + ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x

E que:

∫ 0 1 e x d x =   e - 1

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = π 4

Então a integral definida tem o valor:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

Resposta

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral.

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x

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Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração. Show, então vamos lá.

A primeira coisa a notar é que essa integral é uma soma de duas funções, então podemos reescrever para:

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 sinh ⁡ x d x

Então vamos fazer uma coisa de cada vez pra não nos embolarmos, primeiro uma integral, depois a outra. Vamo que vamo:

Passo 2

Na primeira integral, resolvemos diretamente se lembrarmos da regrinha

∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C

Nesse caso, como a integral é definida, nem esquenta a cabeça com + C , ok? A primitiva dessa função vai ser então:

∫ 2 x d x = 2 x ln ⁡ 2 = F x

E como a integral é definida:

∫ 0 1 2 x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 2 x d x = 2 1 ln ⁡ 2 - 2 0 ln ⁡ 2 =   2 - 1 ln ⁡ 2 = 1 ln ⁡ 2

Passo 3

A segunda integral também tiramos de letra se lembrarmos da regrinha:

∫ sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C

Como a integral é definida:

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ 1 - cosh ⁡ 0

Como:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Temos:

cosh ⁡ 1 = e 1 + e - 1 2 = e + 1 e 2 = e 2 + 1 2 e

cosh ⁡ 0 = e 0 + e 0 2 = 1 + 1 2 = 2 2 = 1 = 2 e 2 e  

Fechamos então a integral definida:

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = e 2 + 1 2 e - 2 e 2 e = e 2 - 2 e + 1 2 e

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, só juntar os resultados todos, achamos que:

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 sinh ⁡ x d x

E que:

∫ 0 1 2 x d x = 1 ln ⁡ 2

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = e 2 - 2 e + 1 2 e

Então a integral definida tem o valor:

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   1 ln ⁡ 2 + e 2 - 2 e + 1 2 e

Resposta

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   1 ln ⁡ 2 + e 2 - 2 e + 1 2 e

Exercício Resolvido #5

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 373 – 43

Calcule a integral.

∫ - 1 2 ( x - 2 x ) d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração, segundo o nosso querido teorema da variação total

Você, pequeno gafanhoto, estava tranquilo para achar a primitiva dessa função, até que reparou que tem um módulo ali!

Muito marotamente, você deve ter ido buscar na sua colinha de integrais imediatas onde estava a primitiva de | x | e... surpreeeesa! Não achou. Depois do seu mini ataque cardíaco, recomponha-se e vem entender aqui comigo porque eu não te dei a primitiva de | x | pronta.

Sempre que você se deparar com uma função que tenha módulo, independente do que tiver dentro do módulo (pode ser só um x zinho que não faz mal a ninguém até um monstro, pense na definição de módulo!

Olha aqui:

x = x ,     p a r a   x ≥ 0 - x ,             p a r a   x < 0

Atente-se que vamos usar isso aí para resolver essa integral!

Passo 2

Na situação em que x ≥ 0 , o módulo de x se veste de x e nas situações em que x < 0 , o módulo de x se veste de - x .

Você precisa saber em que situação ele estará e aí dependendo da situação , substituí-lo por x ou - x .

Agora observa que os limites de integração da integral são - 1 e 2 . Sabe o que isso significa?

Que no intervalo de - 1 a 0 , | x | “se veste” de - x , porque nesse intervalo x < 0 , certo?

Mas no intervalo de 0 a 2 , | x | “se veste” de x , porque nesse intervalo x ≥ 0 !

Isso significa que em cada “pedaço” do intervalo de integração a função do integrando se comportará diferente! E aí? Como eu resolvo isso? Como eu consigo contemplar esses diferentes comportamentos dependendo do intervalo de integração?

Lançando mão daquela propriedade irada de integrais definidas que me permite dividir os limites de integração em dois intervalos:

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Nesse caso, queremos dividir o intervalo - 1 a 2 nos intervalos - 1 a 0 e 0 a 2 , concorda? Porque aí sabemos qual roupa o | x | está usando em cada situação:

∫ - 1 2 x - 2 x d x = ∫ - 1 0 x - 2 x d x + ∫ 0 2 ( x - 2 x d x

Como entre - 1 e 0 x =   - x , substituímos x por – x na primeira integral. Já entre 0 e 2 x =   x , então substituímos x por x na segunda integral

∫ - 1 2 x - 2 x d x = ∫ - 1 0 x - 2 . - x d x + ∫ 0 2 ( x - 2 ( + x ) d x

∫ - 1 2 x - 2 x d x = ∫ - 1 0 x + 2 x d x + ∫ 0 2 ( x - 2 x d x

Você verá que as integrais resultantes são muito simples de resolver.

∫ - 1 0 ( 3 x ) d x + ∫ 0 2 - x d x

= ∫ - 1 0 3 x d x - ∫ 0 2 x d x

Passo 3

Pronto! Temos integrais de polinômios, super amigáveis!

Resolvendo a primeira integral:

∫ - 1 0 3 x d x = 3 2 x 2 - 1 0

= 3 2 ⋅ 0 2 - 3 2 ⋅ - 1 2 =   - 3 2

Resolvendo a segunda integral:

∫ 0 2 x d x = 1 2 x 2 0 2

= 1 2 ⋅ 2 2 - 1 2 ⋅ 0 2

1 2 . 4 = 2

Juntando as duas:

= ∫ - 1 0 3 x d x - ∫ 0 2 x d x =   - 3 2 - 2

= - 7 2

Pronto! Adimite que você curtiu, vai?

Resposta

∫ - 1 2 ( x - 2 x ) d x = - 7 2

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