Substituição Trigonométrica

Teoria Completa

Já vimos aquele milhões de integrais, com substituição, partes e tudo mais. Ai, na hora da prova você pega e encontra essa integral

∫ 1 x x 2 + 9 d x

Tem uma raiz, com x no denominador, não surge nenhuma substituição na cabeça, não rola LIATE. O que fazer? Chorar?

RELAAAAAAAAXA... vamos usar substituição trigonométrica, ela vai salvar nossas vidas.

Quando usar substituição trigonométrica?

Naquele exemplo da integral

∫ 1 x x 2 + 9 d x

Apareceu x 2 + a 2 , aquele a 2 é o 9 .

a 2 = 9 → a = ± 3

Em substituição trigonométrica, precisamos ignorar esse negativo. Vamos sempre pegar o positivo.

Esse a é sempre um número.

Então, se tivéssemos

x 2 - 9 → a 2 = 9 → a = 3

4 - x 2 → a 2 = 4 → a = 2

x 2 - 2 → a 2 = 2 → a = 2

Beleza, estamos em SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA. Isso quer dizer que vamos fazer uma SUBSTITUIÇÃO, e ela é uma função TRIGONOMÉTRICA.

A questão é saber qual substituição fazer. Em cada caso, vamos usar uma substituição diferente.

Usando a substituição trigonométrica

Vamos voltar para o nosso exemplo

∫ 1 x x 2 + 9 d x

Passo 1: Identificamos qual caso.

Aqui temos o primeiro caso: x 2 + a 2 , já vimos que a = 3 . Vamos fazer

x = a   t g   θ   → x = 3   t g   θ  

Passo 2: Achamos d x , derivando o x

Agora, precisamos achar d x , é só derivar o x

d x = 3   s e c 2   θ   d θ

Passo 3: Substituir o x e d x na integral dada.

Primeiro, vamos olhar a substituição só na raiz

x 2 + 9 ⇒ 3 t g   θ   2 + 9 = 9 t g 2 θ   + 9 = 9 t g 2 θ   + 1

Usando

t g 2 θ   + 1 = s e c 2 θ  

9 t g 2 θ   + 1 = 9   s e c 2 θ   = 3   s e c   θ  

Repara que sumiu a raiz ne? Esse tipo de integração serve exatamente para tirar essa raiz, então fica atento: Se a raiz não sumir, errei conta.

∫ 1 x x 2 + 9 d x ⇒ ∫ 3   s e c 2   θ   d θ 3   t g   θ   . 3   t g 2 θ   2 + 9 = ∫ 3   s e c 2 θ   d θ 3   t g   θ   . 3   s e c   θ   = ∫ s e c   θ   3   t g   θ     d θ

Arrumando isso

= 1 3 ∫ 1 c o s θ s e n θ c o s θ d θ = 1 3 ∫ 1 s e n θ d θ =   1 3 ∫ c o s s e c θ d θ

Passo 4: Resolver a integral na variável θ .

Aqui é só resolver a integral mesmo xD

1 3 ∫ c o s s e c θ d θ = - 1 3 l n   c o s s e c   θ   + c o t g   θ     + C

Passo 5: Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Não interessa chegar à resposta em função θ , precisamos achar em x porque era a variável que eu tinha lá no início. Como fazemos isso? E agora?

Usamos

x = 3   t g   θ  

Então

t g   θ   = x 3

Olhando o triângulo retângulo:

É só usar as relações trigonométricas

s e n   θ   = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

c o s   θ   = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

t g   θ   = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

t g   θ   = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = x 3

O cateto oposto vai ser x e o cateto adjacente vai ser 3 . O nosso triângulo vai ficar

Cara, mas e aquela bendita Hipotenusa? Pitágoras.

H i p o t e n u s a = x 2 + 9

Aqui, sempre vai faltar um lado, para achar esse bendito basta fazer um Pitágoras.

O triângulo do nosso exemplo é

Queremos escrever

1 3 l n   c o s s e c   θ   - c o t g   θ     + C

Com x . Aqui, vamos ter

c o t g   θ   = 1 t g   θ   = 1 x / 3 = 3 x

E

c o s s e c   θ   = 1 s e n   θ   = 1 x / x 2 + 9 = x 2 + 9 x

Voltando agora para x

- 1 3   l n   x 2 + 9 x + 3 x     + C

O passo a passo é sempre esse:

Passo 1: Identificamos qual caso.

Passo 2: Achamos d x

Passo 3: Substituir o x e d x na integral dada.

Passo 4: Resolver a integral na variável θ .

Passo 5: Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Ufa...

Agora chega de papo e mãos-a-obra!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP - Cálculo 1 - P3 2010 - 1 a

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a ∫ x 5 3 + x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para conseguir resolver ou que aparentemente pode nos levar à solução de forma mais fácil.

Tá, essa raiz quadrada com x 2 somado a constante é um indicador direto do método da Substituição Trigonométrica, você concorda.

Quando você cai num método de integração dividido em casos, que é o caso do método da Substituição Trigonométrica, o próximo passo é identificar de qual caso se trata para, a partir daí, direcionar a forma de resolver.

E qual dos três casos vamos usar? Temos uma expressão do tipo a 2 + x 2 .

Então, a substituição que devemos fazer nesse caso é: x = a ⋅ tg ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos partir para a resolução propriamente dita. Já identificamos qual caso usar. O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d x e substituir na integral.

Temos 3 + x 2

Para escrever na forma a 2 + x 2 , podemos escrever: ( 3 ) 2 + x 2

Portanto, temos:

a = 3 →   x = 3 tg ⁡ θ

d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo na integral:

∫ x 5 3 + x 2 d x = ∫ 3 tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg ⁡ θ 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= 3 5 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 3 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 27 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ tg ⁡ θ 5 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Bom, depois de substituir tudo e simplificar o máximo possível, devemos resolver a integral em θ . E para resolver essa integral aqui? #Comofaz?

Sabemos que se trata de uma integral trigonométrica. Essa integral trigonométrica envolve tangente e secante, sendo o expoente da tangente ímpar. Nessa situação, a gente guarda um tg ⁡ θ . sec ⁡ θ , que é derivada da secante, e abre o resto das tangentes em secantes:

9 3 ∫ tg ⁡ θ 4 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ