Substituição Trigonométrica

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Teoria

Bora aprender a fazer Substituição Trigonométrica?!

Então já vamos começar com tudo! Eu quero que vc pense em como você resolveria esse problema aqui:

Difícil, não é? 😱

Calma! Fica comigo que você vai aprender! Vamos resolver essa integral por substituição trigonométrica! 😉

Só que ai você me pergunta

-“ Como você sabia que da pra resolver esse problema com substituição trigonométrica? Eu não to vendo nenhum seno, cosseno, tangente e afins.. 😖”

Excelente questão! Vamos começar entendendo quando usar a substituição trigonométrica para resolver a integral!

Quando usar a Substituição Trigonométrica?

Sempre que alguma parte da nossa integral se parecer com algum desses casos aqui:

Quando usar substituição trigonométrica?
Quando usar substituição trigonométrica?

Agora, vamos dar uma olhadinha no nosso exemplo inicial?

Opaa, ali no denominador temos um , onde o , então sabemos que da pra resolver essa integral usando substituição trigonométrica! 😁

Para cada caso, vamos fazer um tipo de substituição:

Substituições para cada caso
Substituições para cada caso

Como Fazer a Integral por Substituição Trigonométrica?

Vamos aprender na prática, resolvendo o nosso exemplo!

Passo 1: Identificar o caso da Substituição Trigonométrica

O primeiro passo a gente meio que já fez! Temos que olhar pra nossa integral, olhar pro quadrinho de casos que se encaixam na substituição trigonométrica e ver onde que ele se encaixa!

Mas recapitulando, temos , que se encaixa no segundo caso onde o .

Logo, faremos:

Que vai ficar:

Passo 2: Calcular

Já conhecemos o :

Então temos que deriva-lo para achar :

Pra agilizar as contas e dar aquele confere você pode usar nossa calculadora de derivadas!

Passo 3: Substituir o e o na integral original

Substituindo:

Podemos dar uma arrumadinha nisso, pra te ajudar você pode dar uma conferida na nossa tabela de relações trigonométricas!

Ficamos com:

Bem menos assustador!

Passo 4: Calcular a Integral com relação a

Passo 5: Converter o  na variável inicial

Vamos considerar o triângulo retângulo:

Triângulo Retângulo
Triângulo Retângulo

Sabemos que:

Para o nosso exemplo:

Logo:

Só pra a gente visualizar melhor, podemos jogar no triângulo:

Triângulo Retângulo: Hipotenusa
Triângulo Retângulo: Hipotenusa

Huuum…acho que rola um teorema de pitágoras aqui:

Agora podemos completar nosso triângulo retângulo:

Triângulo Retângulo: Exemplo
Triângulo Retângulo: Exemplo

Podemos voltar pro nosso problema…

Podemos reescrever o e o :

Então ficamos com:

Awee!!

Pra conferir essa resposta você também pode usar nossa Calculadora de Integrais! 😉

DESAFIO: Resolva a seguinte Integral usando Substituição Trigonométrica

A resolução desse problema você pode conferir nesse vídeo abaixo:

Bora praticar com mais exercícios?

Como Fazer a Integral por Substituição Trigonométrica?

DESAFIO: Resolva a seguinte Integral usando Substituição Trigonométrica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a ∫ x 5 3 + x 2 d x

Passo 1

O primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para conseguir resolver ou que aparentemente pode nos levar à solução de forma mais fácil.

Tá, essa raiz quadrada com x 2 somado a constante é um indicador direto do método da Substituição Trigonométrica, você concorda.

Na Substituição Trigonométrica poderemos encontrar 3 casos:

a 2 + x 2

a 2 - x 2

- a 2 + x 2

Quando você cai num método de integração dividido em casos, o próximo passo é identificar de qual caso se trata para, a partir daí, direcionar a forma de resolver.

E qual dos três casos vamos usar? Temos uma expressão do tipo a 2 + x 2 , onde a 2 seria igual a 3.

Então, a substituição que devemos fazer nesse caso é: x = a ⋅ tg ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos partir para a resolução propriamente dita. Já identificamos qual caso usar. O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d x e substituir na integral.

Temos 3 + x 2 , onde a 2 = 3   ∴ a = 3

Portanto, a substituição que devemos fazer será:

a = 3 →   x = 3 tg ⁡ θ

Derivando x , encontramos o d x :

d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora, vamos substituir na integral:

∫ x 5 3 + x 2 d x = ∫ 3 tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg ⁡ θ 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos tirar de dentro da integral tudo o que for constante.

= 3 5 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Na raiz quadrada do denominador, a gente pode colocar o 3 em evidência para depois utilizar uma identidade trigométrica para simplificar a integral.

= 3 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 ( 1 + tg 2 ⁡ θ ) sec 2 ⁡ θ d θ

Agora sim, fica mais de identificar a identidade trigonométrica sec 2 ⁡ θ = 1 + tg 2 ⁡ θ e fazer a substituição.

= 27 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 27 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ tg ⁡ θ 5 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Bom, depois de substituir tudo e simplificar o máximo possível, devemos resolver a integral em θ . E para resolver essa integral aqui? #Como faz?

Sabemos que se trata de uma integral trigonométrica. Essa integral trigonométrica envolve tangente e secante, sendo o expoente da tangente ímpar. Nessa situação, a gente guarda um tg ⁡ θ . sec ⁡ θ , que é derivada da secante, e abre o resto das tangentes em secantes:

9 3 ∫ tg ⁡ θ 4 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ 1 - 2 sec 2 ⁡ θ + sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Fazendo a seguinte substituição simples:

u = sec ⁡ θ → d u = tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Vai ficar:

9 3 ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u = 9 3 u - 2 u 3 3 + u 5 5

= 9 3 sec ⁡ θ - 2 sec ⁡ θ 3 3 + sec ⁡ θ 5 5

Passo 5

Bom, agora que já resolvemos a integral em θ . Agora temos que voltar para x . Então montamos aquele triângulo maroto para des-substituir o θ para x , lembrando que no caso da tangente, o triângulo fica com essa cara aqui, ó:

A partir dessa triângulo, tiramos todas as relações de que precisamos. Nesse caso, só precisamos de sec ⁡ θ

sec ⁡ θ = 1 c o s θ =   x 2 + 3 3

Substituindo isso no resultado em θ que havíamos encontrado e lembrando que é uma integral indefinida, portanto, não devemos esquecer a constante C , beleza? Se liga aí para não dar bobeira!

9 3 x 2 + 3 3 - 2 x 2 + 3 3 3 3 + x 2 + 3 3 5 5 + C

= 9 x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 3 + x 2 + 3 5 5 + C

Resposta

∫ x 5 3 + x 2 d x = 9 x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 3 + x 2 + 3 5 5 + C

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral abaixo

∫ 8 x - x 2 d x

Passo 1

Bem, a princípio, esse problema pode não parecer simples de identificar o método de integração, porque já vou te avisando que ele não está assim tão na cara mesmo não. Mas nada que, com a prática, você não comece a identificar.

Bom, repara comigo que uma substituição simples não vai resolver o seu problema, porque dentro da raiz, você tem uma diferença com um termo x 2 . Quando derivar essa soma, vai ficar com um termo em x . E não tem nada de x fora da raiz (fail!).

Mas olha só: eu tenho um termo dentro da raiz e um termo x 2 . Isso me faz lembrar, bem lá no fundo, substituição trigonométrica. Ok, eu sei que você pensou: “Essa menina tá viajando aí, porque eu não tenho nada que pareça x 2 ± a 2 ou a 2 - x 2 ”.

Calma, como diz o ditado: nem tudo é o que parece ser.

Lembra daquela fórmula marota para calcular coisas do tipo x + a 2 ?

Lembra que é assim? x ± a 2 = x 2 ± 2 a x + a 2

Olha bem para essa função: 8 x - x 2

Repara que falta um numerozinho ali para ela ficar com essa carinha de x 2 ± 2 a x + a 2 e poder ser substituída por x ± a 2

Então, nesse caso, você pode completar o quadrado! E como você faz isso?

Pensa o seguinte (sem se preocupar com o sinal, por enquanto): você quer chegar em algo bonitinho do tipo x 2 ± 2 a x + a 2 .

Você já tem o x 2 e a parte do 2 a x .

Se você fizer 8 x = 2 a x , você descobre que ser a = 4

Se você quer chegar em algo do tipo x 2 ± 2 a x + a 2 , quem está faltando é o a 2 , concorda? Se o a = 4 , o a 2 seria 16 .

Você tem que fazer aquele 16 aparecer ali, mas, obviamente, você não pode alterar a função. Se aquele 16 não está no enunciado, você não pode simplesmente coloca-lo ali porque sem ele não dá para resolver. E aí?

Passo 2

Antes de responder isso, vamos pensar no sinal e colocar na forma já bonitinha:

Temos - x 2 + 8 x , que podemos reescrever como - ( x 2 - 8 x ) , beleza?

Vamos colocar o a 2 dentro disso aí? Assim:

- ( x 2 - 8 x + 16 )

Só que, como eu falei, aquele 16 não estava ali. Então o que a gente faz para não alterar a função original. Se eu desmembrar aquele termo ali em cima:

- x 2 - 8 x + 16 =   - x 2 + 8 x - 16

No final, esse 16 que eu coloquei aí para completar o quadrado ficou - 16 , certo?

Se eu somar um termo e diminuir o mesmo termo, eu não estou alterando nada, certo? Porque no final, o termo menos ele mesmo será zero, não é mesmo?

Então... Olha que lindo!

Eu posso simplesmente somar um 16 :

16 - x 2 + 8 x - 16

No final eu chegarei à expressão original:

- x 2 + 8 x

Você pode não estar entendendo ainda e achando que estou rodando em círculos e colocando algo que vou tirar depois. Mas o meu objetivo não é tirar o 16 . É deixa-lo ali. Só que sem alterar a função original. O 16 vai me fazer ser capaz de resolver a questão. Observa:

Agora eu tenho:

∫ 16 - 16 +   8 x - x 2 d x

∫ 16 - ( 16 -   8 x + x 2 ) d x

∫ 16 - x - 4 2 d x

Percebeu que mágico? Você adicionou algo que vai te ajudar pra caramba sem alterar a função original (pode abrir aquele quadrado e conferir quantas vezes quiser que o que você tem ali vai ser sempre - x 2 + 8 x !).

Passo 3

Ufa! Fiz tudo isso, mas ainda temos que resolver essa integral.

Vou chamar aquele termo x - 4   de u , só para facilitar a visualização do problema aqui, ok?

Se eu fizer:

u = x - 4 → d u = d x

Olha só como fica a integral:

∫ 16 - u 2 d u

E aí? Substituição trigonométrica gritando para ser usada?

Sim, temos aquele caso de típico de substituição trigonométrica com uma expressão do tipo a 2 - x 2 .

Só que nesse caso, o que eu tenho que chamar de a . s e n θ não é x e sim o u , saca?

Então a substituição que vou fazer é a seguinte:

u =   a . s e n   θ  

Passo 4

Agora vamos partir para a resolução propriamente dita. Já identificamos qual caso usar. O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d u e substituir na integral.

Temos 16 - u 2

Portanto, temos:

a = 4 →   u = 4   s e n   θ

d u = 4  cos ⁡ θ d θ

16 -   u 2 =   16 - 4   sen ⁡ θ 2 =   16 - 16   s e n 2   θ = 16 1 - s e n 2 θ = 16 cos 2 ⁡ θ

= 4  cos ⁡ θ

Substituindo na integral dada:

∫ 16 - u 2 d u

∫ 4   c o s θ × 4 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 16 cos 2 ⁡ θ   d θ = 16 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ  

Passo 5

Agora devemos resolver a integral na variável θ . Para isso, vamos utilizar a propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + 1 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

16 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 6 ∫ 1 2 + 1 2 c o s ⁡ ( 2 θ )   d θ  

= 16   1 2 θ + 1 2 . 1 2 s e n   2 θ = 16   1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ = 16   1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ

= 8   θ + 4   s e n   ( 2 θ )

Passo 6

Agora que resolvemos a integral em θ , vamos voltar para u . Montamos aquele triângulo maroto para des-substituir o θ para u , lembrando que nesse caso, o triângulo fica com essa cara aqui, ó:

A partir desse triângulo, tiramos todas as relações de que precisamos. Nesse caso, precisamos do valor de θ e de s e n ( 2 θ ) . Vale lembrar que:

s e n   2 θ = 2   s e n   θ cos ⁡ θ

Portanto, precisamos calcular as relações s e n   θ e cos ⁡ θ

sen ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = u 4

cos ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 16 - u 2 4

θ =  arcse n ⁡ u 4

Substituindo isso no resultado em θ que havíamos encontrado e lembrando que é uma integral indefinida, portanto, não devemos esquecer a constante C , beleza? Se liga aí para não dar bobeira!

16 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = 8   θ + 4   s e n   2 θ = 8   θ + 2   s e n   θ cos ⁡ θ

= 8   a r c s e n   u 4 + 4   . 2   u 4 16 - u 2 4 + C 1

= 8   a r c s e n   u 4 + u 16 - u 2 2 + C 1

Chamei a constante aí em cima de C 1 porque essa ainda não é a resposta definitiva. Voltamos para u , mas a integral que tínhamos inicialmente era em x . Esse u aí veio daquela substituição esperta que fizemos para faciliar nossa vida.

Agora temos que voltar para x . Lembrando que fizemos u = x - 4 :

∫ 8 x - x 2 d x =   8   a r c s e n   x - 4 4 + x - 4 16 - ( x - 4 ) 2 2 + C

Resposta

∫ 8 x - x 2 d x =   8   a r c s e n   x - 4 4 + x - 4 16 - ( x - 4 ) 2 2 + C

Exercício Resolvido #3

Resolva a integral definida:

∫ - 2 / 5 - 6 / 5 d y | y | 5 y 2 - 3

Passo 1

Você pode se assustar ao olhar essa integral, até porque ela tem um módulo ali, o que, por si só, já causa um certo desconforto.

Mas olha só: quando você tem módulo, o importante é você lembrar da definição de módulo.

y = y ,           p a r a   y ≥ 0 - y ,             p a r a   y < 0

Dependendo do intervalo, | y | terá comportamentos diferentes. Mas repara só: o intervalo de integração que ele deu vai de - 6 5 a - 2 5 , ou seja, são sempre valores negativos. O que significa que nesse intervalo de integração que ele deu, | y | será sempre igual a - y , concorda? Então vou escrever assim:

∫ - 2 / 5 - 6 / 5 d y | y | 5 y 2 - 3 = ∫ - 2 / 5 - 6 / 5 d y - y 5 y 2 - 3

Só mais uma coisinha: repara que o limite inferior é - 2 5 , que é maior que o limite superior - 6 5 . Como tenho um menos ali na frente do y , posso aproveitar isso para usar aquela propriedade de integrais definidas que me permite mudar os limites de integração. Isso vai evitar que eu fique carregando aquele menos ali na frente do y .

∫ - 2 / 5 - 6 / 5 d y - y 5 y 2 - 3 = ∫ - 6 / 5 - 2 / 5 d y y 5 y 2 - 3

Passo 2

Beleza. Agora eu tenho uma integral meio esquisita para resolver. Vamos esquecer os limites de integração por enquanto e pensar em como achar a primitiva dessa função, ok?

∫ d y y 5 y 2 - 3  

Repara bem nessa integral. Você vê que temos uma raiz quadrada e que tem um y 2 ali menos uma constante. Isso não te lembra nada? Nadinha mesmo? Vou te dar uma dica: y 2 - a 2 .

Ok. Problema: Tem uma constante ali na frente do y 2 e como essa constante é diferente da constante que está sendo subtraída, eu não posso coloca-la em evidência. Mas na matemática nada se cria, nada se perde e, com sorte, tudo se transforma em algo útil e mais bonito.

Que tal manipular aquela expressão ali dentro da raiz para que ela fique com essa carinha de y 2 - a 2 ?

Vamos fazer

5 y 2 - 3 = 5 y 2 - 3 5 = 5 y 2 - 3 5

Aí a integral fica assim:

∫ d y y 5 y 2 - 3 = ∫ d y 5   y   y 2 - 3 5 = 1 5 ∫ d y y   y 2 - 3 5

E agora? Vamos fazer a substituição trigonométrica!

Eu sei que você deve estar pensando: poxa, entender eu até entendi (ou aceitei, porque, né) mas eu nunca ia pensar nisso sozinho(a). Calma, essas coisas são questão de prática. E esses exercícios de fixação têm como objetivo de dar alguns bizus de coisas com as quais você pode se deparar na sua longa trajetória pelo mundo do Cálculo.

Fazendo mais exercícios, você vai ganhando bagagem para reconhecer essas pegadinhas, mesmo que nos primeiros você tenha que dar aquela coladinha, entendeu?

Bom, lembra que quando temos uma integral definida nós podemos tanto resolver a indefinida e depois utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo quanto substituir direto os limites de integração em função da nova variável?

Então, na substituição simples, meio que tanto faz, mas no caso de substituição trigonométrica, vou te falar que não recomendo muito você tentar substituir os limites em função da variável θ . É melhor você esquecer os limites, calcular a indefinida em função de θ , voltar ara x e aí substituir os limites, beleza?#Ficadica #Confia

Passo 3

Passado o susto inicial, vemos que temos uma integral que será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, aquele caso em que temos y 2 - a 2 .

O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d x e substituir na integral.

1 5 ∫ d y y   y 2 - 3 5

Temos y 2 - 3 5

Para escrever na forma y 2 - a 2 , podemos escrever: y 2 - 3 5 2

Portanto, temos:

a = 3 5 = 3 5 →   y = 3 5 sec ⁡ θ

Agora derivando

d y = 3 5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo na integral:

1 5 ∫ d y y   y 2 - 3 5 = 1 5 ∫ 3 5 sec ⁡ θ t g   θ d θ 3 5 sec ⁡ θ   3 5 sec 2 ⁡ θ - 3 5

= 1 5 ∫ t g   θ d θ   3 5 sec 2 ⁡ θ - 3 5 = 1 5 ∫ t g   θ d θ   3 5 ( sec 2 ⁡ θ - 1 )    

= 1 5 ∫ t g   θ   d θ   3 5 ( sec 2 ⁡ θ - 1 )  

Lembrando que

sec 2 ⁡ θ - 1 = t g 2 θ

Voltando para a integral

= 1 5 5 3 ∫ t g   θ d θ   t g 2 θ  

= 1 3 ∫ t g   θ d θ   t g θ = 1 3   ∫ d θ

Passo 4

Agora devemos resolver a integral na variável θ . Essa integral é molezinha, amigo, tirar doce de criança:

1 3   ∫ d θ = 1 3   θ + C

Passo 5

Agora que já resolvemos a integral em θ , temos que voltar para u . Então montamos aquele triângulo espertinho para des-substituir o θ para x :

c o s θ = 3 5 y → θ = arccos ⁡ 3 5 y  

∫ d y y 5 y 2 - 3 = 1 3 arccos ⁡ 3 5 y + C

Passo 6

A questão ainda não acabou (todos choram). Queremos a integral definida. Achamos a primitiva. Agora temos que aplicar os limites de integração:

∫ - 2 / 5 - 6 / 5 d y | y | 5 y 2 - 3 = ∫ - 6 / 5 - 2 / 5 d y y 5 y 2 - 3

Isso é equivalente a escrever assim:

∫ - 6 / 5 - 2 / 5 d y y 5 y 2 - 3 = 1 3 arccos ⁡ 3 5 y - 2 5 - arccos ⁡ 3 5 y - 6 5