Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Teoria Completa

Vamos falar sobre esse tipo de substituição:

u = tg ⁡ x 2

Essa substituição é bastante característica (por isso tem uma teoria só para ela). Ela é para funções em que você tem quocientes envolvendo sen ⁡ x e/ou cos ⁡ x , principalmente se aparecerem somados ou subtraídos sem muita cara de se resolverem por integral trigonométrica.

Caso você tenha que resolver problemas assim, saiba que você pode escrever o sen ⁡ x e o cos ⁡ x como:

sen ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

cos ⁡ x = 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Você não precisa entender de onde vem essas equações aqui em cima (pedem uma trigonometria complicadinha), mas é importante que você grave as duas, para os exercícios.

Dado isso, teremos o seguinte d u para u = tg ⁡ x 2 :

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x

Porém, sec 2 ⁡ x 2 = 1 + tg 2 ⁡ x 2 . Logo,

d u = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

É isso! Agora podemos ver uma aplicação:

∫ 1 2 + sen ⁡ x d x

Vamos substituir o seno pela forma que achamos:

∫ 1 2 + sen ⁡ x d x = ∫ 1 2 + 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

= ∫ 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 + 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x 2 tg 2 ⁡ x 2 + 2 tg ⁡ x 2 + 2

Repara, substituindo u = tg ⁡ x 2 e tirando o 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x como 2 d u , já que:

d u = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Teremos,

∫ 2 d u 2 u 2 + 2 u + 2 = ∫ d u u 2 + u + 1

Completamos quadrado com o termo de baixo:

∫ d u u 2 + u + 1 = ∫ d u u 2 + u + 1 4 + 3 4

= ∫ d u u + 1 2 2 + 3 4 = ∫ d u 3 4 u + 1 2 2 3 4 + 1 = 4 3 ∫ d u u + 1 2 3 2 2 + 1

Substituindo o u + 1 2 3 2 por t , teremos

t = u + 1 2 3 2       ;       d t = 2 3 d u → d u = 3 2 d t

Assim,

4 3 ∫ d u u + 1 2 3 2 2 + 1 = 4 3 ∫ 3 2 d t t 2 + 1

= 4 3 3 2 ∫ d t t 2 + 1

Essa é a integral do arco tangente. Fazendo ela e desfazendo as substituições, teremos:

2 3 arctg ⁡ t = 2 3 arctg ⁡ u + 1 2 3 2    

= 2 3 arctg ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 2 3 2     + C

Vamos para os exercícios de fixação agora!

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Exercício Resolvido #1

Calcule a integral:

∫ 1 c o s   x   d x

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Passo 1

Vamos substituir o cosseno em função da x 2   , como na nossa teoria:

c o s   x   = 1 - x 2   1 + x 2  

Assim, teremos:

∫ 1 c o s   x   d x = ∫ 1 1 - x 2   1 + x 2   d x

= ∫ 1 + x 2   1 - x 2   d x

Passo 2

Logo, fazendo:

u = x 2     →       d u = 1 2 1 + x 2   d x

∫ 1 + x 2   d x 1 - x 2   = ∫ 2 d u 1 - u 2

Podemos reescrever esse cara abrindo um produto notável do seu denominador:

∫ d u 1 - u 2 = ∫ 2 d u 1 + u 1 - u

Passo 3

Agora a gente tem que abrir essa integral em frações parciais:

2 1 + u 1 - u = A 1 + u + B 1 - u

1 1 + u 1 - u = A 1 - u + B 1 + u 1 + u 1 - u

0 u + 1 1 + u 1 - u = B - A u + A + B 1 + u 1 - u

Caímos nesse sistema:

{ A + B = 2 B - A = 0  

A = B = 1

Passo 4

Assim, a integral fica com essa cara:

∫ d u 1 + u 1 - u = ∫ 1 1 + u d u + ∫ 1 1 - u d u

= l n   1 + u   - l n   1 - u   + C

= l n   1 + u 1 - u   + C

Desfazendo a substituição do u = x 2   :

∫ 1 c o s   x   d x = l n   1 + x 2   1 - x 2     + C

Resposta

∫ 1 c o s   x   d x = l n   1 + x 2   1 - x 2     + C

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral:

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x

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Passo 1

Vamos substituir o seno pela forma da teoria:

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x = ∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

= ∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 2 tan ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ sinh ⁡ tan ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x  

Repara, substituindo u = tg ⁡ x 2 e tirando o 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x como 2 d u , já que:

d u = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x → 2 d u = 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Teremos,

1 2 ∫ sinh ⁡ tan ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x   = 1 2 ∫ sinh ⁡ u 2 d u = ∫ sinh ⁡ u d u

Passo 2

Opa, a integral que restou é tranquila e direta de resolver. Temos que:

∫ sinh ⁡ u d u = cosh ⁡ u

Voltando à variável original, u = tg ⁡ x 2 , ficamos com:

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x = cosh ⁡ tg ⁡ x 2 + C