Frações Parciais

Teoria Completa

Quando usar o Método de Integração por Frações Parciais?

Se aparecer essa integral aqui pra gente resolver:

∫ x + 3 x 2 - x + 3 d x

E aí a primeira coisa que devemos pensar é em tentar usar substituição simples ou trigonométrica, maaaas nesse caso nenhuma delas ajuda a gente.

Mas caaaalma meu jovem, não se desespere, é aí que entra o tal do Método de Frações Parciais. E nós devemos pensar em usar ele sempre que o grau do numerador for menor que o grau do denominador.

Como nessas outras integrais aqui embaixo também:

  ∫ 4 x x 3 - 2 x 2 + x + 3 d x   ,   ∫ x 2 + 5 x ( x 5 + 1 ) d x

O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente, por exemplo:

x + 3 → g r a u   1

x 2 - x + 3 → g r a u   2

x 3 - 2 x 2 + x + 3 → g r a u   3

x x 5 + 1 → x 6 + x → g r a u   6

Ok? Grau do numerador sempre menor pra mandar frações parciais!

Nesse caso a gente consegue dar um jeitinho. Vamos resolver um exemplo pra responder à pergunta do Patrick:

x 7 - 1 x 2 + 3

É só seguir esse passo a passo:

Passo 1: Dividimos o termo x com maior expoente do numerador pelo termo x com maior expoente do denominador:

x 7 x 2 = x 5

Passo 2: Multiplicamos a resposta pelo denominador:

x 5 x 2 + 3 = x 7 + 3 x 5

Passo 3: Diminuímos o numerador pelo resultado obtido acima:

x 7 - 1 - x 7 + 3 x 5 = - 3 x 5 - 1

Passo 4: Chegamos a uma nova divisão, escrevendo o que achamos no passo 1 mais o que achamos no passo 3 , colocando essa soma sobre o denominador:

x 7 - 1 x 2 + 3 = x 5 + - 3 x 5 - 1 x 2 + 3

Caso o grau do polinômio do numerador continue maior que o grau do polinômio do denominador, só aplicar o passo a passo de novo na nova fração.

Mas afinal, o que são as tais Frações Parciais?

Elas são nada mais que um método da gente ‘quebrar’ uma fração que seja difícil de integrar, em duas ou mais frações mais simples integrar. Por exemplo, conseguimos quebrar a seguinte fração assim:

x + 3 x 2 - 5 x + 6 = 6 x - 3 - 5 x - 2

E agora temos duas frações que são beeem mais fáceis de integrar. Parece passo de mágica ne? Mas não é e da pra gente aprender um método pra fazer isso. Só vamos precisar abrir em alguns casos, vamos começar dos mais simples e ir até os mais complicadinhos.

Caso 1: Os fatores do denominador são todos lineares (1º grau) e com raízes distintas

Vamos desmembrar em frações parciais a seguinte expressão:

x - 5 x 2 - x - 2

É uma divisão de polinômios, sendo que o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), então tudo ok. Fatorando o denominador, fica:

x - 5 x - 2 x + 1

Esses termos x - 2 e x + 1 que são os fatores do denominador. São 2 fatores do 1º grau, com 2 raízes distintas ( 2 e - 1 ).

A ideia é escrever a expressão assim, ó:

x - 5 x - 2 x + 1 =   A x - 2 + B x + 1

Onde A   e B são constantes.

Pra determinar A e B , vamos botar tudo no mesmo denominador e comparar os 2 lados da equação:

x - 5 x - 2 x + 1 =   A x + 1 + B x - 2 x - 2 x + 1

x - 5 x - 2 x + 1 = A x + A + B x - 2 B x - 2 x + 1

x - 5 x - 2 x + 1 = A + B x + A - 2 B x - 2 x + 1

Comparando, temos:

x - 5 = A + B x + A - 2 B

⇒ A + B = 1 A - 2 B = - 5 ⇒ A = - 1 B = 2  

#HoraDoBizu

Existe um macete que facilita as contas e ainda diminui a chance de erro.

Nesse exemplo específico nem ajudaria tanto, porque ele é bem simples, mas a ideia é: na hora que chegar na equação

x - 5 = A + B x + A - 2 B

substituir os valores de x iguais às raízes dos polinômios, para ir zerando os termos. Nesse caso nossas raízes são 2 e - 1 .

Pra x = 2 :

2 - 5 = A + B 2 + A - 2 B

- 3 = 2 A + 2 B + A - 2 B

3 A = - 3

⇒ A = - 1

E pra x = - 1 :

- 1 - 5 = A + B - 1 + A - 2 B

- 6 = - A - B + A - 2 B

- 6 = - 3 B

⇒ B = 2

Gostou do macetinho? Fala sério, não facilita muito?? :)

Enfim, com ou sem macete, chegamos à conclusão que:

x - 5 x 2 - x - 2 = x - 5 x - 2 x + 1 = -   1 x - 2 + 2 x + 1

Usando isso pra calcular a integral:

∫ x - 5 x 2 - x - 2 d x = - ∫ 1 x - 2 d x + 2 ∫ 1 x + 1 d x

= - ln ⁡ x - 2 + 2 ln ⁡ x + 1 + C

Se quiser deixar isso mais bonitinho usando propriedade do logaritmo, fique à vontade, mas se deixar assim também tá show.

Ah, só mais uma dica, é legal saber esse resultado aqui decorado, que vai te ajudar muito em frações parciais:

∫ A x - b d x = A ln ⁡ x - b + C

Caso 2: Os fatores do denominador são todos do 1º grau e alguns fatores se repetem (aparecem raízes múltiplas)

Agora vamos ver como desmembrar em frações parciais expressões desse tipo:

x x - 1 x + 1 2

Fica atento que nem sempre o denominador já vai vir fatorado, e aí a gente vai ter que fatorar. Mas nesse caso já está fatorado, bom pra gente. Dado que polinômio do denominador tem uma raiz única x = 1 e uma raiz múltipla x = - 1 .

Vamos quebrar dessa forma:

x x - 1 x + 1 2 =   A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2

Depois é só conta, trabalho braçal: botar tudo no mesmo denominador, montar e resolver o sistema... Faça essas continhas sempre prestando bastante atenção

Agora, saca só essa outra aqui:

x x - 1 x + 1 3 = A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2 + D x + 1 3

Deu pra pegar a ideia? Uma última pra não restar dúvida:

x + 2 x + 1 10 = A x + 1 + B x + 1 2 + … + I x + 1 9 + J x + 1 10

Caso 3: Os fatores do denominador são lineares e quadráticos irredutíveis (e os fatores quadráticos não se repetem)

E se quiséssemos calcular esse cara feioso aqui:

∫ 3 x 2 - 7 x + 5 x ( x 2 - 4 x + 5 ) d x

Aliás, reparou que estamos começando a encarar umas integrais mais casca grossa, né?

No denominador tem um termo linear: x . O outro termo, x 2 - 4 x + 5 , é o que eu vou chamar de fator quadrático irredutível. Isso só significa que não tem como simplificar ele, não dá pra fatorá-lo em termos de fatores lineares, do tipo x + a x + b ou x + a 2 .

E uma maneira bem simples de testar se um termo quadrático é irredutível é calculando o discriminante (famoso Δ ) e testando se ele é negativo. Nesse nosso exemplo, temos

x 2 - 4 x + 5 ⇒ Δ = - 4 2 - 4.1 . 5

= 16 - 20 = - 4 < 0

Pronto, deu negativo, então x 2 - 4 x + 5 é um fator quadrático irredutível.

Ok, agora que vimos o que isso significa, vejamos como desmembrar nosso integrando lá em frações parciais:

3 x 2 - 7 x + 5 x ( x 2 - 4 x + 5 ) = A x + B x + C x 2 - 4 x + 5

Opa, reparou a diferença?

Na fração correspondente ao termo quadrático, em vez de só um constante B , apareceu um termo B x + C , beleza?

#HoraDoBizu

Se o b do fator quadrático irredutível a x 2 + b x + c for diferente de zero, que nem no nosso exemplo ( b = - 4 ≠ 0 ), então a boa é escrever a fração parcial correspondente assim:

B 2 a x + b +   C a x 2 + b x +   c

Observa que o termo ( 2 a x + b ) é a derivada do polinômio de baixo.

Eu sei que parece um pouco aleatório, mas acredite: isso facilita muito depois na hora de calcular as integrais. Confia em mim, eu sou legal!

Então vamos fazer

3 x 2 - 7 x + 5 x x 2 - 4 x + 5 = A x + B [ x 2 - 4 x + 5 ) ' + C   x 2 - 4 x + 5

3 x 2 - 7 x + 5 x x 2 - 4 x + 5 = A x + B ( 2 x - 4 ) + C   x 2 - 4 x + 5

Depois disso, o procedimento é o mesmo: montar o sistema, resolver, etc. etc. Lembrando sempre de fazer as continhas com bastante atenção.

Caso 4: Os fatores do denominador são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem

Esse caso meio que mistura tudo que vimos até aqui. Vamos ver integrais do tipo:

∫ x - 2 x x 2 - 4 x + 5 2 d x

O termo quadrático x 2 - 4 x + 5 no denominador é irredutível.

Montando as frações parciais:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 2 = A x + B x + C   x 2 - 4 x + 5 + D x + E   x 2 - 4 x + 5 2

E assim como pro caso 2, se aparecesse um cubo no denominador por exemplo, teríamos:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 3 = A x + B x + C   x 2 - 4 x + 5 + D x + E   x 2 - 4 x + 5 2 + F x + G x 2 - 4 x + 5 3

E assim por diante.

Observação: nesse exemplo podia usar aquele macete de botar a derivada do polinômio do denominador no lugar do x , tá? Não teria problema nenhum.

Enfim, foi bastante informação e deu pra ver que frações parciais é um método trabalhoso né? Pra ficar afiado nisso tem que treinar bastaaaaante! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2014.2 - 1 h

h   ∫ x 2 5 x - x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Polinômio sobre polinômio, isso geralmente é resolvido pela integral por frações parciais. Para isso, o grau do polinômio de cima tem que ser menor que o de baixo, então vamos dividir o cara de cima pelo denominador:

x 2 5 x - x 2 = x 2 - 5 x + 5 x 5 x - x 2

= - 1 + 5 x 5 x - x 2

Dá até para simplificar um x ali do segundo termo:

x 2 5 x - x 2 = - 1 + 5 5 - x

Então a integral fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ - 1 + 5 5 - x d x

Passo 2

Agora pensando em resolver essa integral, o problema está só no segundo termo, já que a integral de - 1 já sabemos que será - x . Eu tinha dado a dica de fazer por frações parciais, mas esse cara que sobrou sai por substituição simples mesmo!

u = 5 - x → d u = - d x     ;   5 d x = - 5 d u

∫ 5 5 - x d x = ∫ - 5 d u u

= - 5 ln ⁡ u = - 5 ln ⁡ 5 - x

Então, a integral toda fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ - 1 + 5 5 - x d x

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Resposta

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 500 ex 26

Avalie a integral

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x

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Passo 1

Temos novamente uma integral indefinida, de uma função racional, que não parece sair facilmente por nenhum método simples de integração que conhecemos. Nesse caso, aplicamos frações parciais.

Primeiro tenho que conferir se o grau do numerador é menor que o do denominador:

O polinômio do numerador tem grau 2 e o do denominador tem grau 3 →   check!

Agora eu vou fatorar o polinômio do denominador, isto é, achar suas raízes.

Então eu vou fazer isso aqui:

x 3 + 3 x = x x 2 + 3

Beleza, eu cheguei em um termo linear e em um termo que é quadrático. O que eu faço agora? Confiro se esse termo quadrático é um quadrático irredutível.

Δ = b 2 -   4 a c = 1 - 12 < 0

Como Δ < 0 , o termo é um quadrático irredutível e não há mais nada a fazer.

Beleza, e agora?

Passo 2

Vamos desmembrar em frações parciais, lembrando que o termo linear x não se repete então será desmembrado como A / x .

O termo quadrático irredutível também não se repete e, se repararmos bem, ele é um polinômio do tipo x 2 +   b x + c   com b = 0 . Sendo assim, podemos desmembrá-lo como A x + B x 2 + 3

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = A x + B x + C x 2 + 3

Fazendo o MMC:

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = A ( x 2 + 3 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 3 )

x 2 - x + 6 = A x 2 + 3 A + B x 2 + C x

x 2 - x + 6 = x 2 A + B + x C + ( 3 A )

Resolvendo o sistema para achar as constantes:

A + B = 1         C = - 1       3 A = 6      

C = - 1   ;   A = 2 → B = - 1

Passo 3

Substituindo as constantes para integrar:

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x = ∫ 2 x d x - ∫ x + 1 x 2 + 3 d x = ∫ 2 x d x - ∫ x x 2 + 3 d x - ∫ 1 x 2 + 3 d x

Essas são, todas elas, integrais que podemos fazer diretamente. Não vou me estender na explicação de cada uma em si, qualquer dúvida basta olhar as teorias passadas. Basicamente, a segunda sai por substituição simples e a terceira você manipula para chegar na integral de uma trigonométrica inversa, beleza?

∫ 2 x d x - ∫ x x 2 + 3 d x - ∫ 1 x 2 + 3 d x = ∫ 2 x d x - 1 2 ∫ 2 x x 2 + 3 d x - 1 3 ∫ d x 3 x 3 2 + 1

2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 - arctan ⁡ x / 3 3 + C

Só não vai esquecer a constante de integral indefinida, hein?

- ''

Resposta

- 1 3 arctan ⁡ x 3   + 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 500 ex 38 – modificado

Avalie a integral

∫ x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x

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Passo 1

Só para variar, uma integral indefinida, de uma função racional, que não parece muito amigável. Nesse caso, aplicamos frações parciais.

Primeiro tenho que conferir se o grau do numerador é menor que o do denominador:

O polinômio do numerador tem grau 4 e o do denominador tem grau 5 →   check!

O polinômio do denominador já parece estar na sua forma fatorada, certo?

Temos um x 2 ali, que é um termo linear x que aparece duas vezes, beleza?

Vamos conferir que aquele polinômio ali no denominador é irredutível?

Δ = b 2 -   4 a c = 0 2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 = - 4 < 0

Como Δ < 0 , o termo é um quadrático irredutível e não há mais nada a fazer.

Show!

Passo 2

O termo quadrático irredutível se repete, percebe? Temos x 2 + 1 2 e, se repararmos bem, ele é um polinômio do tipo x 2 +   b x + c   com b = 0 . Sendo assim, podemos desmembrá-lo como

1 x 2 + 1 2 = C x + D x 2 + 1 + D x + E x 2 + 1 2

Então teremos:

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 = A x + B x + C x 2 + 1 + D x + E x 2 + 1 2

Fazendo o MMC:

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 = A x 2 + 1 2 + B x + C x x 2 + 1 + D x + E x x x 2 + 1 2

x 4 + 1 = A x 4 + 2 A x 2 + A + B x 4 + C x 3 + B x 2 + C x + D x 2 + E x

x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 = x 4 A + B + x 3 C + x 2 2 A + B + D + x C + E + ( A )

Resolvendo o sistema para achar as constantes:

A + B = 1       ( 1 )   C = 0       ( 2 ) 2 A + B + D = 0       ( 3 ) C + E = 0       ( 4 ) A = 1       ( 5 )

C = 0   ; A = 1   ; B = 0   ; D = - 2   ; E = 0  

Passo 3

Substituindo as constantes:

∫ x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x = ∫ 1 x + 0 x + 0 x 2 + 1 + - 2 x + 0 x 2 + 1 2 d x = ∫ d x x - ∫ 2 x d x x 2 + 1 2

Integrando essa bagaça (a segunda integral sai por substituição simples u = x 2 + 1 ), sem estresse!

∫ d x x - ∫ 2 x d x x 2 + 1 2 = ln ⁡ x + 1 x 2 + 1 +   C

E não esquece a constante porque é uma integral indefinida!

Resposta

∫ x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x = 1 x 2 + 1 + ln ⁡ x + C

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2012.2 - 1d

Calcule as integrais abaixo:

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x

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Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C )!

Olhando para a integral, vemos uma função logarítmica ( ln ⁡ x 3 + 1 ) e uma polinomial ( 1 x 3 ). Quando isso acontece, é interessante usar o método da integração por partes. Vamos lá!

Passo 2

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Devemos escolher u na seguinte ordem: função logarítmica ( ln ⁡ x ) > função inversa ( arcsen ⁡ x , arctg ⁡ x ,   … ) > função polinomial ( x n ) > função trigonométrica ( sen ⁡ x   x , cos ⁡ x , sec ⁡ x , ...) > função exponencial ( e x ).

u = ln ⁡ ( x 3 + 1 )     ( l o g a r í t m i c a ) d v = d x x 3 = x - 3 d x     ( p o l i n o m i a l )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = 1 x 3 + 1 ⋅ 3 x 2 d x v = - 1 2 x - 2 = - 1 2 x 2

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x 3 + 1 x 3 d x = - 1 2 x 2 ln ⁡ x 3 + 1 - ∫ - 1 2 x 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 1 x 3 + 1 d x =

= - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 + 3 2 ∫ 1 x 3 + 1 d x = - ln ⁡ x 3 + 1 2 x 2 + 3 2 I

4. Verificar se a integral ∫ v d u é possível de calcular. Se não, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .

A integral I é uma divisão de polinômios, ou seja, pode ser calculada pelo método das frações parciais. Vamos aplicar o método para calculá-la.

Passo 3

I = ∫ 1 x 3 + 1 d x

1. Se o numerador tiver grau maior ou igual ao denominador, divida o numerador pelo denominador.

O grau do numerador ( 0 ) é menor do que o grau do denominador ( 3 ) .

2. Fatore o denominador para ele ficar na forma de um produto de termos.

1 x 3 + 1 = 1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

3. Desmembre a função racional em frações parciais com constantes nos numeradores.

1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = A x + B x 2 - x + 1 + C x + 1

4. Faça o MMC, iguale os numeradores e agrupe as constantes.

1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) = A x + B x + 1 + C ( x 2 - x + 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

1 = A x 2 + A x + B x + B + C x 2 - C x + C

0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x + 1 = A + C x 2 + A + B - C x + ( B + C )

Passo 4

5. Resolva o sistema para achar as constantes.

  A + C = 0           ( 1 )   A + B - C = 0           ( 2 )       B + C = 1           ( 3 )

De 1 : A = - C

Substituindo em 2 :   B - 2 C = 0 → B = 2 C

E voltando em 3 :   3 C = 1 → C = 1 / 3

Temos:

A = - 1 3 ; B = 2 3

6. Substitua as constantes e prepare para integrar.

∫ 1 x 3 + 1 d x = ∫ - 1 3 x + 2 3 x 2 - x + 1 d x + ∫ 1 3 x + 1 d x =

= - 1 3 ∫ x d x x 2 - x + 1 + 2 3 ∫ d x x 2 - x + 1 + 1 3 ∫ d x x + 1 =

= - 1 3 I 1 + 2 3 I 2 + 1 3 I 3

Passo 5

7. Calcular as integrais

Vamos calcular cada integral separadamente:

I 1 = ∫ x d x x 2 - x + 1

Completando o quadrado:

∫ x d x x - 1 2 2 + 3 4

Fazendo a seguinte substituição:

u = x - 1 2 → d u = d x   e   x = u + 1 2

Aplicando:

∫ u + 1 2 d u u 2 + 3 4 = ∫ u   d u u 2 + 3 4 + 1 2 ∫ d u u 2 + 3 4

Vamos fazer a seguinte substituição para a primeira integral:

t = u 2 + 3 4 → d t = 2 u   d u → u   d u = 1 2 d t

Aplicando:

1 2 ∫ d t t + 1 2 ⋅ ∫ d u 3 4 2 3 u 2 + 1 =

= 1 2 ln ⁡ | t | + 2 3 ⋅ 3 2 arctg ⁡ 2 3 u =

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 3 4 + 3 3 arctg ⁡ 2 3 u =

I 1 = 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 3 arctg ⁡ 2 x - 1 3

Calculando I 2 , vamos fazer de forma similar à integral anterior:

I 2 = ∫ d x x 2 - x + 1 = ∫ d x x - 1 2 2 + 3 4 =

= 4 3 ∫ d x x - 1 2 3 2 2 + 1 = 4 3 . 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3

Calculando I 3 :

I 3 = ∫ d x x + 1 = ln ⁡ | x + 1 |