Limite Fundamental Exponencial
Teoria
Falaaa, gente bonita!
Vem comigo para aprender sobre o limite fundamental exponencial!
Existem alguns limites bem famosos em cálculo, conhecidos como limites fundamentais. São limites calculados através de métodos mais avançados, mas eles são tão recorrentes que o seu resultado já é conhecido.
Vou te apresentar hoje o limite fundamental exponencial, que tem essa carinha aqui:

O que eu estou te dizendo é que toda vez que você ver um limite que tem essa carinha, esse formatinho, você estará diante de um limite fundamental exponencial e o resultado dele será igual a
Mas como nem tudo na vida são flores, o limite fundamental exponencial nem sempre aparece tão claro assim pra gente...
Dá uma olhada nesse exemplo aqui:

Quando a gente olha pra esse limite a gente percebe uma certa similaridade com o limite fundamental exponencial, mas não é exatamente ele. Nesses casos, nós fazemos uma substiruição simples para resolvê-lo.
Se liga só nisso aqui: se a gente comparar esse carinha com o limite fundamental, o
Sendo assim, o expoente será:
NÃO PODEMOS ESQUECER de substituir também a tendência do limite:
Prontinho, agora podemos reescrever o limite em função de
Podemos colocar esse expoente "à oitava" para fora:
E olha só quem apareceu ali. O limite fundamental exponencial!
Agora só substituir o seu valor por
Irado, não é?
Agoa bora fazer bastante exercícios para fixar bem esse conteúdo! 😆
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo 2014.2 – 1 b
Calcule os limites indicados abaixo.
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Resposta
Exercício Resolvido #2
PUC-RJ - Cálculo B - P4 2015.1 - 3 a
Calcule os limites:
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Determine o limite
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ - Cálculo B - P2 2012.2 - 1b
Seja :
Determine o valor de tal que ;
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Vamos calcular esse limite:
Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de em cima e embaixo:
Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:
Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencialnos dois!
Passo 3
Começamos calculando o limite no numerador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Logo, é
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 4
Agora calculamos o limite do denominador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 5
Substituindo os resultados, teremos:
Ora, se o resultado for , então
Resposta
Exercício Resolvido #5
UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2014 Quinta - 3 b
Calcule:
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de em cima e embaixo:
Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:
Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencial nos dois!
Passo 3
Começamos calculando o limite no numerador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 4
Agora calculamos o limite do denominador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 5
Substituindo os resultados, teremos:
Resposta
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