Limite Fundamental Exponencial

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Teoria

Falaaa, gente bonita!

Vem comigo para aprender sobre o limite fundamental exponencial!

Existem alguns limites bem famosos em cálculo, conhecidos como limites fundamentais. São limites calculados através de métodos mais avançados, mas eles são tão recorrentes que o seu resultado já é conhecido.

Vou te apresentar hoje o limite fundamental exponencial, que tem essa carinha aqui:

Limite Fundamental Exponencial
Limite Fundamental Exponencial

O que eu estou te dizendo é que toda vez que você ver um limite que tem essa carinha, esse formatinho, você estará diante de um limite fundamental exponencial e o resultado dele será igual a , a base neperiana que vale aproximadamente (Obs.: Você não precisa substituir esse valor não, pode deixar em função de mesmo haha)

Mas como nem tudo na vida são flores, o limite fundamental exponencial nem sempre aparece tão claro assim pra gente...

Dá uma olhada nesse exemplo aqui:

Exemplo de limite
Exemplo de limite

Quando a gente olha pra esse limite a gente percebe uma certa similaridade com o limite fundamental exponencial, mas não é exatamente ele. Nesses casos, nós fazemos uma substiruição simples para resolvê-lo.

Se liga só nisso aqui: se a gente comparar esse carinha com o limite fundamental, o deveria ser o mesmo que , então vamos fazer essa substituição:

Sendo assim, o expoente será:

NÃO PODEMOS ESQUECER de substituir também a tendência do limite:

ã

Prontinho, agora podemos reescrever o limite em função de :

Podemos colocar esse expoente "à oitava" para fora:

E olha só quem apareceu ali. O limite fundamental exponencial!

Agora só substituir o seu valor por e encontramos o resultado:

Irado, não é?

Agoa bora fazer bastante exercícios para fixar bem esse conteúdo! 😆

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule os limites indicados abaixo.

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Passo 2

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

3 x = 1 u → x = 3 u

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3 = e 3

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x = e 3

Exercício Resolvido #2

Calcule os limites:

  lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Passo 2

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

2 x = h → x = h 2 → 3 x = 6 h

x → 0   ; h → 0

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = lim h → 0 ⁡ 1 + h 6 h = lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h 6

= lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h 6 = e 6

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = e 6

Exercício Resolvido #3

Determine o limite

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Passo 2

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

cos ⁡ x = h → 1 cos ⁡ x = 1 h

x → 3 π 2   ; h → cos ⁡ 3 π 2 = 0

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h

= e

Resposta

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = e

Exercício Resolvido #4

Seja f x = x + c x - c ,             c   ∈   R :

Determine o valor de c tal que lim x → ∞ ⁡ f x x = 4 ;

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ x + c x - c x = 1 ∞

Passo 2

Vamos calcular esse limite:

lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x + c x - c x

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x + c x - c x = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + c x x 1 - c x x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencialnos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

c x = 1 u

Logo, x é c . u

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u c u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u c

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u c = e c

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- c x = 1 u → x = - c u

x → + ∞   ; u → - ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - c u = lim u - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - c

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - c = e - c

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x = e c e - c = e c e c

= e 2 c

Ora, se o resultado for 4 , então

e 2 c = 4 → 2 c = ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2

c = ln ⁡ 2

Resposta

  c = ln ⁡ ( 2 )

Exercício Resolvido #5

Calcule:

  lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = ∞ ∞ ∞

Passo 2

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de 3 x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 3 x 1 + 1 3 x 2 x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencial nos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- 2 3 x = 1 u → x = - 2 u 3

x → + ∞   ; u → - ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - 4 u 3 = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 4 3

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 4 3 = e - 4 3

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

1 3 x = 1 u → x = u 3

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 2 u 3 = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 3

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 3 = e 2 3

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x = e - 4 3 e 2 3 = 1 e 4 3 e 2 3 = 1 e 6 3

= 1 e 2 = e - 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

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