Limite Fundamental Exponencial

Teoria Completa

Limite Fundamental Exponencial

Existem alguns tipos de limites bem recorrentes nas provas que dependem de métodos mais avançados de Cálculo para serem calculados fugindo das possíveis indeterminações. Por conta da sua recorrência, nós os apresentamos como limites fundamentais, limites que, quando adaptados ao seu formato original podem ser substituídos de primeira. Nessa teoria, te apresentamos esse aqui, o Limite Fundamental Exponencial:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Onde esse e é a base neperiana, que vale aproximadamente e ≅ 2,72 , mas você não precisa substituir o valor, deixe em função de e .

Ao substituir o limite, caímos numa indeterminação de 1 ∞ . Vamos exemplificar:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x 4 x

Como calcular esse cara? Bom, repara que comparando com o limite de cima, o 1 u seria o mesmo que o 2 x , certo? Então fazemos uma substituição:

1 u = 2 x → x = 2 u

Com isso, o expoente em função de u será:

4 x = 4 2 u = 8 u

Importante: temos que substituir também a tendência x → + ∞ do limite. Ora, se x → + ∞ e temos u = x 2 , então a tendência de u é:

u → x 2 = ∞ 2 = ∞   ; u → ∞

Jogamos todas as mudanças no limite original:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x 4 x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 8 u

Podemos botar esse expoente à oitava para fora!

lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 8 u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 8 = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 8

E quem apareceu ali? O Limite Fundamental Exponencial! Substituimos seu valor por e de primeira:

lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 8 = e 8

Esse seria o nosso resultado. O importante aqui é você entender como manipulá-lo: deixe a base do termo num formato de 1 + f x , chame esse f x (no caso, o 2 x ) de 1 u , aplique essa substituição no expoente e no valor da tendência para, por fim, mexer com o grau do expoente e substituí-lo.

OBS.: Se pegássemos o 1 u e o substituíssemos por h , teríamos:

u → ∞   ;   h → 0

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h

É bom você conhecer as duas formas, pois certas questões tem uma cara mais parecida com esse limite do h , e pode ser mais fácil fazer as substituições de acordo com o seu formato, não esquecendo que o resultado continuaria sendo o mesmo, e .

lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h = e

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo 2014.2 – 1 b

Calcule os limites indicados abaixo.

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x

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Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Passo 2

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

3 x = 1 u → x = 3 u

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3 = e 3

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x x = e 3

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2015.1 - 3 a

Calcule os limites:

  lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x

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Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Passo 2

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

2 x = h → x = h 2 → 3 x = 6 h

x → 0   ; h → 0

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = lim h → 0 ⁡ 1 + h 6 h = lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h 6

= lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h 6 = e 6

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 3 x = e 6

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine o limite

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Passo 2

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

cos ⁡ x = h → 1 cos ⁡ x = 1 h

x → 3 π 2   ; h → cos ⁡ 3 π 2 = 0

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ 1 + h 1 h

= e

Resposta

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = e

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2012.2 - 1b

Seja f x = x + c x - c ,             c   ∈   R :

Determine o valor de c tal que lim x → ∞ ⁡ f x x = 4 ;

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Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ x + c x - c x = 1 ∞

Passo 2

Vamos calcular esse limite:

lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x + c x - c x

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x + c x - c x = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + c x x 1 - c x x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencialnos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

c x = 1 u

Logo, x é c . u

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u c u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u c

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u c = e c

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- c x = 1 u → x = - c u

x → + ∞   ; u → - ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - c u = lim u - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - c

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - c = e - c

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x = e c e - c = e c e c

= e 2 c

Ora, se o resultado for 4 , então

e 2 c = 4 → 2 c = ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2

c = ln ⁡ 2

Resposta

  c = ln ⁡ ( 2 )

Exercício Resolvido #5

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2014 Quinta - 3 b

Calcule:

  lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = ∞ ∞ ∞

Passo 2

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de 3 x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 3 x 1 + 1 3 x 2 x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencial nos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- 2 3 x = 1 u → x = - 2 u 3

x → + ∞   ; u → - ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - 4 u 3 = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 4 3

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 4 3 = e - 4 3

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

1 3 x = 1 u → x = u 3

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 2 u 3 = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 3

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 3 = e 2 3

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x = e - 4 3 e 2 3 = 1 e 4 3 e 2 3 = 1 e 6 3

= 1 e 2 = e - 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

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