Limite Fundamental Trigonométrico

Teoria Completa

Limites fundamentais trigonométricos

Segure essa:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x

POW! Como resolver esse limite? Para tal, vamos usar o limite fundamental trigonométrico:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Esse limite costuma aparecer em indeterminações 0 / 0 ou em 0 ∞ , de uma forma mais “escondida” algebricamente. Então, o detalhe é que nem sempre ele vai estar claro para ser substituído e o desafio da questão é justamente achar o limite fundamental escondido.

No nosso exemplo, veja que:

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Assim, podemos substituir:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x

Repare que, com isso, apareceu o limite fundamental trigonométrico. Agora é só substituir e partir para o abraço:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1 1 cos ⁡ 0 = 1

Limites fundamentais e propriedades trigonométricas

Nem sempre poderemos resolver um limite com uma propriedade trigonométrica tão tranquila quanto essa. Em alguns momentos, será necessário usar outras relações, como:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

1 + cotg 2 ⁡ θ = cossec 2 ⁡ θ

sen ⁡ ( x ± y ) = sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ± sen ⁡ y ⋅ cos ⁡ x

cos ⁡ x ± y = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ∓ sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ y

sen ⁡ ( 2 x ) = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x - 1 = 1 - 2 sen 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Além disso, podemos precisar multiplicar pelo conjugado para usá-la, como em:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Separamos o seno de x sobre x do resto do limite:

lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 0 1 + 1 = 0

Agora, para aprender toda essas manipulações. Todas, de verdade! É só ir nos exercícios. Vá lá praticar!

Limite com substituição

Por conta da sua recorrência, nós apresentamos a você o limite fundamental trigonométrico. Acontece, porém, que eles nem sempre vem com a cara que você espera. Originalmente ele tinha essa cara:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Entretanto, existe uma penca de questões em que os limites precisam ser adaptados ao seu formato original para podermos substituí-los de primeira. Confere o exemplo.

Ex:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x

Nesse caso, para fugir da indeterminação precisamos substituir o termo dentro do seno por u . Fazendo isso, teríamos u = 3 x , sendo o termo embaixo x , que ficará agora valendo u 3 . Quando x → 0 , temos:

u = 3 x   ; x → 0

u → 3 0 = 0

Vemos que u vai tender a 0 , bem como o x . Assim,

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 3

= lim u → 0 ⁡ 3 sen ⁡ u u = 3 lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

A partir daí, podemos substituir o valor de primeira no Limite Fundamental Trigonométrico:

3 lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 3 1 = 3

Esse seria o nosso resultado.

O importante aqui é você entender como manipulá-lo: chame algum dos termos de uma variável auxiliar u . Aplique essa substituição para todos os termos que aparecem com a variável anterior (ou seja, transforme tudo, sem excessão, de x para u ) e no valor da tendência. Por fim, chegue ao formato original do Limite Fundamental Trigonométrico.

Vai exercitar agora!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2014.1 - 1 a

Calcule:

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x

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Passo 1

Temos uma indeterminação do tipo 0 0 :

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x = e 0 0 e 0 0 = 0 0

Passo 2

Vamos abrir essa tangente em seno sobre cosseno:

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x = lim x → 0 ⁡ e x 2 sen ⁡ x e x x cos ⁡ x

Agora é só separar as exponenciais e o cosseno da jogada:

lim x → 0 ⁡ e x 2 sen ⁡ x e x x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ e x 2 e x cos ⁡ x

Passo 3

O primeiro vai embora pelo limite fundamental trigonométrico. Já o segundo pode ser substituído de primeira sem indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ e x 2 e x cos ⁡ x = 1 1 1 1

= 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x = 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x

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Passo 1

Substituindo teremos indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x = sec ⁡ 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Passo 2

Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um x no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse sec ⁡ x - 1 do numerador.

Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x → sec 2 ⁡ x - 1 = tg 2 ⁡ x

Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, sec ⁡ x + 1 , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:

sec 2 ⁡ x - 1 = sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1 = tg 2 ⁡ x

Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x sec ⁡ x + 1 sec ⁡ x + 1

= lim x → 0 ⁡ tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x

Passo 3

Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:

lim x → 0 ⁡ tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x 1 x 1 + sec ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x 1 + sec ⁡ x

Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que cos ⁡ 0 = sec ⁡ 0 = 1 :

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x 1 + sec ⁡ x = 1 0 1 1 2 1 + 1

= 1 2 0 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x = 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5

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Passo 1

Substituindo:

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 = 3 + sen ⁡ 0 - 3 - tg ⁡ 0 0 5 = 3 - 3 0 = 0 0

Passo 2

Eu não faria ideia de como começar essa questão, não fosse essa diferença de raízes quadradas, que me faz lembrar daquela relação de produtos notáveis:

a - b a + b = a 2 - b 2

Onde o meu a seria a primeira raiz, b a segunda e o que eu tenho ali é um a - b . Vou multiplicar em cima e embaixo por a + b = 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x :

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5

= lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x + tg ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Passo 3

Gente, agora basta pegar um desses x do x 5 no denominador e dividir a tangente e o seno, abrindo ainda a tangente como seno sobre cosseno:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x + sen ⁡ x cos ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Passo 4

Agora, no primeiro termo do primeiro limite fundamental trigonométrico que apareceu ali temos que abrí-lo pela relação trigonométrica que diz que sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x em cima e embaixo para poder substitituí-lo:

lim x → 0 ⁡ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Agora nós podemos Substituir os limites fundamentais trigonométricos por 1 e os valores que não geraram indeterminações. Você vai ver que o único problema é naquele x 4 no denominador e o último termo do limite:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x . lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= 2 1 1 + 1 1 1 lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + 0 + 3 + 0

= 3 lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 2 3 = 3 2 lim x → 0 ⁡ 1 x 4

Repara que para 1 x 4 com x indo a 0 nós vamos tender lateralmente pelos dois lados a + ∞ . Vemos que o limite, portanto, não existe! Sua tendência é para + ∞ .

Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 = + ∞

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x

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Passo 1

Substituindo:

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = 0 1 - 1 3 0 3 = 0 0

Passo 2

Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele 1 pode ser escrito como 1 3 . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Nesse caso, o nosso a será 1 e b = cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 3

Agora, aquele termo 1 - cos ⁡ x ali pode ser multiplicado por 1 + cos ⁡ x e através do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Podemos abrir esse cara como:

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → 1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por 1 + cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Passo 4

Agora a questão é só de simplificar os termos:

lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele x do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de cos ⁡ 0 = 1 :

lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = 1 + 1 + 1 2 1 1 + 1

= 3 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = 3 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

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Passo 1

Substituindo ficamos com um 0 0 :

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = 0 0

Passo 2

Essa questão depende apenas do encaixe do limite fundamental trigonométrico. Temos um termo dentro do argumento do seno para qual quando x → π 2 vai a 0 . Afinal, c o s   π 2 → 0 . Chamando u = cos ⁡ x , teremos na nossa substituição:

u = cos ⁡ x   ; x → π 2

u → cos ⁡ π 2 = 0

Basicamente, é como se tivéssemos o seguinte acontecendo:

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Passo 3

OK, dado que esse é o limite fundamental (para u ), sabemos o resultado final:

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Resposta

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = 1

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x

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Passo 1

Se eu substituir caímos numa indeterminação de ∞ 0 :

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = ∞ sen ⁡ 0 = ∞ 0

Passo 2

A ideia aqui, então, é forçar aparecer o termo dentro do seno, que está zerando, embaixo dele próprio. No caso, o C x . Temos ali um seno ao cubo, então vou multiplicar em cima e embaixo por C x 3 :

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x C x 3 C x 3

= lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 x C x 3

Passo 3

Vou separar os limites fundamentais do resto:

lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 x C x 3 = lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ x C x 3

= lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2