Limite Fundamental Trigonométrico

Resumo Completo

Limites fundamentais trigonométricos

Segure essa:

lim x 0 tg x x

POW! Como resolver esse limite? Para tal, vamos usar o limite fundamental trigonométrico:

lim x 0 sen x x = 1

Esse limite costuma aparecer em indeterminações 0 / 0 ou em 0 , de uma forma mais “escondida” algebricamente. Então, o detalhe é que nem sempre ele vai estar claro para ser substituído e o desafio da questão é justamente achar o limite fundamental escondido.

No nosso exemplo, veja que:

tg x = sen x cos x

Assim, podemos substituir:

lim x 0 tg x x = lim x 0 sen x x cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 1 cos x

Repare que, com isso, apareceu o limite fundamental trigonométrico. Agora é só substituir e partir para o abraço:

lim x 0 sen x x lim x 0 1 cos x = 1 1 cos 0 = 1

Limites fundamentais e propriedades trigonométricas

Nem sempre poderemos resolver um limite com uma propriedade trigonométrica tão tranquila quanto essa. Em alguns momentos, será necessário usar outras relações, como:

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tg 2 θ = sec 2 θ

1 + cotg 2 θ = cossec 2 θ

sen ( x ± y ) = sen x cos y ± sen y cos x

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

sen ( 2 x ) = 2 sen x cos x

cos 2 x = cos 2 x - sen 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sen 2 x

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

Além disso, podemos precisar multiplicar pelo conjugado para usá-la, como em:

lim x 0 1 - cos x x = lim x 0 1 - cos x x 1 + cos x 1 + cos x

= lim x 0 1 - cos 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x

Separamos o seno de x sobre x do resto do limite:

lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 sen x 1 + cos x = 1 0 1 + 1 = 0

Agora, para aprender toda essas manipulações. Todas, de verdade! É só ir nos exercícios. Vá lá praticar!

Limite com substituição

Por conta da sua recorrência, nós apresentamos a você o limite fundamental trigonométrico. Acontece, porém, que eles nem sempre vem com a cara que você espera. Originalmente ele tinha essa cara:

lim u 0 sen u u = 1

Entretanto, existe uma penca de questões em que os limites precisam ser adaptados ao seu formato original para podermos substituí-los de primeira. Confere o exemplo.

Ex:

lim x 0 sen 3 x x

Nesse caso, para fugir da indeterminação precisamos substituir o termo dentro do seno por u . Fazendo isso, teríamos u = 3 x , sendo o termo embaixo x , que ficará agora valendo u 3 . Quando x 0 , temos:

u = 3 x   ; x 0

u 3 0 = 0

Vemos que u vai tender a 0 , bem como o x . Assim,

lim x 0 sen 3 x x = lim u 0 sen u u 3

= lim u 0 3 sen u u = 3 lim u 0 sen u u

A partir daí, podemos substituir o valor de primeira no Limite Fundamental Trigonométrico:

3 lim u 0 sen u u = 3 1 = 3

Esse seria o nosso resultado.

O importante aqui é você entender como manipulá-lo: chame algum dos termos de uma variável auxiliar u . Aplique essa substituição para todos os termos que aparecem com a variável anterior (ou seja, transforme tudo, sem excessão, de x para u ) e no valor da tendência. Por fim, chegue ao formato original do Limite Fundamental Trigonométrico.

Vai exercitar agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2014.1 - 1 a

Calcule:

lim x 0 e x 2 tg x e x x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos uma indeterminação do tipo 0 0 :

lim x 0 e x 2 tg x e x x = e 0 0 e 0 0 = 0 0

Passo 2

Vamos abrir essa tangente em seno sobre cosseno:

lim x 0 e x 2 tg x e x x = lim x 0 e x 2 sen x e x x cos x

Agora é só separar as exponenciais e o cosseno da jogada:

lim x 0 e x 2 sen x e x x cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 e x 2 e x cos x

Passo 3

O primeiro vai embora pelo limite fundamental trigonométrico. Já o segundo pode ser substituído de primeira sem indeterminação:

lim x 0 sen x x lim x 0 e x 2 e x cos x = 1 1 1 1

= 1

Resposta

lim x 0 e x 2 tg x e x x = 1

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 sec x - 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Substituindo teremos indeterminação:

lim x 0 sec x - 1 x = sec 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Passo 2

Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um x no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse sec x - 1 do numerador.

Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:

1 + tg 2 x = sec 2 x sec 2 x - 1 = tg 2 x

Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, sec x + 1 , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:

sec 2 x - 1 = sec x - 1 sec x + 1 = tg 2 x

Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:

lim x 0 sec x - 1 x sec x + 1 sec x + 1

= lim x 0 tg 2 x x 1 + sec x

Passo 3

Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:

lim x 0 tg 2 x x 1 + sec x = lim x 0 sen 2 x cos 2 x 1 x 1 + sec x

= lim x 0 sen x x lim x 0 sen x lim x 0 1 cos 2 x 1 + sec x

Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que cos 0 = sec 0 = 1 :

= lim x 0 sen x x lim x 0 sen x lim x 0 1 cos 2 x 1 + sec x = 1 0 1 1 2 1 + 1

= 1 2 0 = 0

Resposta

lim x 0 sec x - 1 x = 0

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Substituindo:

lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5 = 3 + sen 0 - 3 - tg 0 0 5 = 3 - 3 0 = 0 0

Passo 2

Eu não faria ideia de como começar essa questão, não fosse essa diferença de raízes quadradas, que me faz lembrar daquela relação de produtos notáveis:

a - b a + b = a 2 - b 2

Onde o meu a seria a primeira raiz, b a segunda e o que eu tenho ali é um a - b . Vou multiplicar em cima e embaixo por a + b = 3 + sen 2 x + 3 - tg x :

lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5

= lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5 3 + sen 2 x + 3 - tg x 3 + sen 2 x + 3 - tg x

= lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

= lim x 0 sen 2 x + tg x x 5 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

Passo 3

Gente, agora basta pegar um desses x do x 5 no denominador e dividir a tangente e o seno, abrindo ainda a tangente como seno sobre cosseno:

lim x 0 sen 2 x + sen x cos x x 5 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

= lim x 0 sen 2 x x + sen x x 1 cos x x 4 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

Passo 4

Agora, no primeiro termo do primeiro limite fundamental trigonométrico que apareceu ali temos que abrí-lo pela relação trigonométrica que diz que sen 2 x = 2 sen x cos x em cima e embaixo para poder substitituí-lo:

lim x 0 2 sen x cos x x + sen x x 1 cos x x 4 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

= lim x 0 2 cos x sen x x + sen x x 1 cos x x 4 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

Agora nós podemos Substituir os limites fundamentais trigonométricos por 1 e os valores que não geraram indeterminações. Você vai ver que o único problema é naquele x 4 no denominador e o último termo do limite:

lim x 0 2 cos x sen x x + sen x x 1 cos x . lim x 0 1 x 4 . lim x 0 1 3 + sen 2 x + 3 - tg x

= 2 1 1 + 1 1 1 lim x 0 1 x 4 . lim x 0 1 3 + 0 + 3 + 0

= 3 lim x 0 1 x 4 . lim x 0 1 2 3 = 3 2 lim x 0 1 x 4

Repara que para 1 x 4 com x indo a 0 nós vamos tender lateralmente pelos dois lados a + . Vemos que o limite, portanto, não existe! Sua tendência é para + .

Resposta

lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5 = +

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Substituindo:

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x = 0 1 - 1 3 0 3 = 0 0

Passo 2

Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele 1 pode ser escrito como 1 3 . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Nesse caso, o nosso a será 1 e b = cos x .

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x = lim x 0 x 1 - cos x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x

Passo 3

Agora, aquele termo 1 - cos x ali pode ser multiplicado por 1 + cos x e através do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Podemos abrir esse cara como:

1 - cos x 1 + cos x = 1 - cos 2 x

E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:

sen 2 x + cos 2 x = 1 1 - cos 2 x = sen 2 x

Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por 1 + cos x .

lim x 0 x 1 - cos x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x 1 + cos x

= lim x 0 x 1 - cos 2 x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x

= lim x 0 x sen 2 x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x

Passo 4

Agora a questão é só de simplificar os termos:

lim x 0 x sen 2 x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x = lim x 0 x 1 + cos x + cos 2 x sen x 1 + cos x

= lim x 0 1 + cos x + cos 2 x sen x x 1 + cos x

Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele x do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de cos 0 = 1 :

lim x 0 1 + cos x + cos 2 x sen x x 1 + cos x = 1 + 1 + 1 2 1 1 + 1

= 3 2

Resposta

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x = 3 2

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x π 2 sen cos x cos x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Substituindo ficamos com um 0 0 :

lim x π 2 sen cos x cos x = 0 0

Passo 2

Essa questão depende apenas do encaixe do limite fundamental trigonométrico. Temos um termo dentro do argumento do seno para qual quando x π 2 vai a 0 . Afinal, c o s   π 2 0 . Chamando u = cos x , teremos na nossa substituição:

u = cos x   ; x π 2

u cos π 2 = 0

Basicamente, é como se tivéssemos o seguinte acontecendo:

lim x π 2 sen cos x cos x = lim u 0 sen u u

Passo 3

OK, dado que esse é o limite fundamental (para u ), sabemos o resultado final:

lim x π 2 sen cos x cos x = lim u 0 sen u u = 1

Resposta

lim x π 2 sen cos x cos x = 1

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x x sen 3 C x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se eu substituir caímos numa indeterminação de 0 :

lim x x sen 3 C x = sen 0 = 0

Passo 2

A ideia aqui, então, é forçar aparecer o termo dentro do seno, que está zerando, embaixo dele próprio. No caso, o C x . Temos ali um seno ao cubo, então vou multiplicar em cima e embaixo por C x 3 :

lim x x sen 3 C x = lim x x sen 3 C x C x 3 C x 3

= lim x sen 3 C x C x 3 x C x 3

Passo 3

Vou separar os limites fundamentais do resto:

lim x sen 3 C x C x 3 x C x 3 = lim x sen 3 C x C x 3 lim x x C x 3

= lim x sen C x C x 3 lim x C 3 x 2

= lim x sen C x C x 3 lim x C 3 x 2

Passo 4

Para resolver o primeiro limite precisamos de uma substituição u = C x . Nesse caso,

u = C x   ; x

u C = 0

Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro termo e o x no segundo:

lim x sen C x C x 3 lim x C 3 x 2 = lim u 0 sen u u 3 lim x C 3 x 2

= 1 3 0

= 0

Resposta

lim x x sen 3 C x = 0

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Substituindo:

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 = sen 9 - 6 - 3 9 - 18 + 9 = 0 0

Passo 2

Seguinte, vamos começar abrindo todos esses termos do segundo grau:

x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2

x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 )

O que ficaria mais ou menos assim:

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 = lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 2

Passo 3

Cara, repara que aquele seno está indo para 0 e que o ( x - 3 ) logo embaixo dele também vai a 0 . Poxa, se o termo dentro do seno fosse igual ao que ele está sendo dividido, poderíamos usar o Limite Fundamental, não é?

Para chegar nisso então, vamos multiplicar o termo em cima e embaixo por ( x + 1 ) :

lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 2 x + 1 x + 1

Ali no denominador, o x + 1 para debaixo do seno e tiro um dos x - 3 .

= lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 x + 1 x - 3

Passo 4

Separamos o limite todo em dois:

lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 x + 1 x - 3 = lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 lim x 3 x + 1 x - 3

Para o primeiro, vamos fazer que

u = x - 3 x + 1

o que gera:

u 0

Quando x 3 . Assim:

lim x 3 sen x - 3 x + 1 x - 3 x + 1 = lim u 0 sen u u = 1

Com isso, basta analisar o outro limite e teremos o nosso resultado:

lim x 3 x + 1 x - 3 = 4 0 = ±

Vemos que, por zerar o denominador, o limite terá tendências diferentes dependendo de qual lado nos aproximamos. De qualquer jeito, ele não existirá, pois explode para mais ou menos infinito.

Resposta

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 =

Exercício Resolvido #8

Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 12.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²  

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Antes de tudo, quero só dizer que essa questão não é fácil, mas vamos explicá-la com calma.

Ao substituir já vemos um belo 0 0 :

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²   = sen π 1 - 1 = 0 0

Passo 2

Primeira coisa, já é usual ver um cara desses com diferença de quadrados. Vamos abrir logo, com o produto notável:

1 - x 2 = 1 + x 1 - x

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²   = lim x 1 s e n ( π x ) 1 + x 1 - x = lim x 1 sen π x 1 - x lim x 1 1 1 + x

Separei o 1 1 + x do resto pois ele vai convergir para um valor. Substituindo ele:

lim x 1 1 1 + x = 1 1 + 1 = 1 2

Agora podemos nos concentrar no que sobrou:

lim x 1 sen π x 1 - x

Passo 3

Vai parecer meio aleatório (e é mesmo...), mas eu vou fazer uma substituição com o termo do denominador. Eu não tenho muito o que fazer, então vou pegar o cara que se destaca e substituí-lo por u :

u = 1 - x   ; x = 1 - u   ;   x 1

u 1 - 1 = 0

Com isso, teremos:

lim x 1 sen π x 1 - x = lim u 0 sen π 1 - u u = lim u 0 sen π - π u u

Passo 4

Eu sei que não parece ter melhorado muito, mas existe uma propriedade para o seno de uma diferença de ângulos, essa aqui:

sen ( x - y ) = sen x cos y - sen y cos x

Se eu fizer essa com o seno ali de cima, terei:

sen π - π u = sen π cos π u - sen π u cos π

Temos que cos π = - 1 e sen π = 0 . Logo,

sen π - π u = - sen π u - 1 = sen π u

Voltando no limite, olha que beleza:

lim u 0 sen π - π u u = lim u 0 sen π u u

Passo 5

Multiplicando em cima e embaixo por π , teremos, fazendo uma segunda substituição de t = π u , com t 0 :

lim u 0 sen π u u = π lim u 0 sen π u π u = π lim t 0 sen t t

Apareceu o Limite Fundamental Trigonométrico. Substituindo-o:

= π 1 = π

Certo, com isso o resultado final fica:

lim x 1 sen π x 1 - x 2   = lim x 1 sen π x 1 - x lim x 1 1 1 + x

= lim u 0 sen π - π u u lim x 1 1 1 + x = π 1 1 + 1

= π 1 2 = π 2

Resposta

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²   = π 2

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume I, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.97, 3d.

Calcule:

lim x p sec x - sec p x - p

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para esse cara temos uma indeterminação de 0 0 .

lim x p sec x - sec p x - p = sec p - sec p p - p = 0 0

Como primeira ideia, eu sugiro que a gente pegue essas secantes e transforme elas em cossenos:

lim x p sec x - sec p x - p = lim x p 1 cos x - 1 cos p x - p

= lim x p cos p - cos x cos p cos x x - p = lim x p cos p - cos x x - p cos p cos x

Passo 2

Esses cossenos do denominador não vão gerar indeterminação, então vou separá –los do limite principal:

= lim x p cos p - cos x x - p lim x p 1 cos p cos x

Agora uma boa é pegar esse x - p e o substituir por uma variável auxiliar u , isso só no primeiro limite. Ficaria assim,

u = x - p     ;     x p

u p - p = 0

lim x p cos p - cos x x - p = lim u 0 cos p - cos u + p u

Passo 3

Vou tentar agora abrir o segundo cosseno pela seguinte propriedade trigonométrica:

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

cos u + p = cos u cos p - sen u sen p

lim u 0 cos p - cos u + p u = lim u 0 cos p - cos u cos p + sen u sen p u

Dando uma arrumada, ele vai parecer beeem mais fácil de sair:

lim u 0 cos p - cos u cos p + sen u sen p u

= cos p lim u 0 1 - cos u u + sen p lim u 0 sen u u

Passo 4

O primeiro cara vai sair quando multiplicarmos ele pelo seu conjugado, em cima e embaixo:

lim u 0 1 - cos u u = lim u 0 1 - cos u u 1 + cos u 1 + cos u

= lim u 0 1 - cos 2 u u 1 + cos u

Vale lembrar que sen 2 u + cos 2 u = 1 , ou seja, 1 - cos 2 u = sen 2 u :

lim u 0 1 - cos 2 u u 1 + cos u = lim u 0 sen 2 u u 1 + cos u

= lim u 0 sen u u lim u 0 sen u 1 + cos u

Substituímos no primeiro limite o Limite Fundamental Trigonométrico, no segundo apenas jogamos u 0 :

lim u 0 sen u u lim u 0 sen u 1 + cos u = 1 0 1 + 1

= 1 0 2 = 0

Passo 5

No outro limite, é só sair no Limite Fundamental Trigonométrico:

lim u 0 sen u u = 1

Juntando todos os resultados, substituímos e ficamos assim:

lim x p sec x - sec p x - p = lim x p cos p - cos x x - p lim x p 1 cos p cos x

= cos p lim u 0 1 - cos u u + sen p lim u 0 sen u u lim x p 1 cos p cos x

= ( cos p 0 + sen p 1 ) lim x p 1 cos p cos x

= - sen p 1 cos p cos p = sen p cos p 1 cos p

= tg p sec p

Resposta

lim x p sec x - sec p x - p = tg p sec p

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