Limite Trigonométrico Fundamental

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Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! Então bora lá aprender sobre Limite Fundamental Trigonométrico?

Limite Fundamental Trigonométrico

Existem alguns limites que são mais complexos de resolver, temos que utilizar ferramentas um pouco mais avançadas para achar a solução, mas que são bem comuns, ou seja, aparecem toda hora. Eles são chamados de limites fundamentais e para a gente não ter que ficar resolvendo algo muito complexo toda vez, a gente toma o valor deles como conhecido.

Hoje eu vou te mostrar o limite fundamental trigonométrico:

Limite Fundamental Trigonométrico
Limite Fundamental Trigonométrico

O que eu estou querendo te dizer é que toda vez que você ver um limite com essa carinha aí de cima (x tendendo a zero de seno de x sobre x) você estará diante de um limite fundamental trigonométrico e o resultado vai ser sempre igual a 1.

Como utilizar o limite fundamental trigonométrico?

Como você já deve ter imaginado, resolver questões sobre o limite fundamental trigonométrico não é assim tão fácil… 😥

Acontece que os professores “escondem” o limite fundamental, e você vai precisar manipular os limites até chegar no limite fundamental.

Mas calma, sem desespero, são basicamente 2 manipulações que podem ser feitas:

  1. Utilizar as propriedades trigonométricas
  2. Aplicar as propriedades dos limites
  3. Usar substituições

Exemplo 1

Dá uma olhada nesse limite aqui:

No primeiro momento a gente não consegue ver o limite fundamental.

Mas podemos usar as propriedades trigonométricas, e lembrar que .

Olha só quem aparece ali quando utilizamos essa propriedade! Ele mesmo, o limite fundamental trigonométrico.

Agora é só separar os limites, aplicar o limite fundamental trigonométrico e correr pro abraço:

De boas não? Em outros casos, você pode precisar de outras relações trigonométricas, então clica aqui no link pra ver nossa tabela com todas as principais propriedades trigonométricas

Exemplo 2:

Algumas vezes também será necessário fazer uma substituição simples para que o limite fundamental apareça. Olha esse exemplo aqui:

Note que ele se assemelha muito o limite fundamental trigonométrico, mas não é exatamente ele, pois temos dentro do seno e não somente.

Vamos então substituir por , de modo a reescrever o limite em função de :

E precisamos também alterar a tendência do limite:

ã

Agora, reescrevendo o limite, temos:

E olha quem apareceu ali!

Agora só resolver tranquilamente:

Irado, não é?

Mas agora você deve estar se perguntando: Como eu vou saber quando usar uma manipulação e quando usar outra?

Bom, isso é só praticando muito com exercícios até pegar o jeito mesmo. Então, bora lá?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule:

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x

Passo 1

Temos uma indeterminação do tipo 0 0 :

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x = e 0 0 e 0 0 = 0 0

Passo 2

Vamos abrir essa tangente em seno sobre cosseno:

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x = lim x → 0 ⁡ e x 2 sen ⁡ x e x x cos ⁡ x

Agora é só separar as exponenciais e o cosseno da jogada:

lim x → 0 ⁡ e x 2 sen ⁡ x e x x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ e x 2 e x cos ⁡ x

Passo 3

O primeiro vai embora pelo limite fundamental trigonométrico. Já o segundo pode ser substituído de primeira sem indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ e x 2 e x cos ⁡ x = 1 1 1 1

= 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x 2 tg ⁡ x e x x = 1

Exercício Resolvido #2

Calcule o limite, caso exista.

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x

Passo 1

Substituindo teremos indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x = sec ⁡ 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Passo 2

Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um x no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse sec ⁡ x - 1 do numerador.

Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x → sec 2 ⁡ x - 1 = tg 2 ⁡ x

Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, sec ⁡ x + 1 , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:

sec 2 ⁡ x - 1 = sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1 = tg 2 ⁡ x

Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x sec ⁡ x + 1 sec ⁡ x + 1

= lim x → 0 ⁡ tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x

Passo 3

Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:

lim x → 0 ⁡ tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x 1 x 1 + sec ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x 1 + sec ⁡ x

Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que cos ⁡ 0 = sec ⁡ 0 = 1 :

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x 1 + sec ⁡ x = 1 0 1 1 2 1 + 1

= 1 2 0 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x = 0

Exercício Resolvido #3

Calcule o limite, caso exista.

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5

Passo 1

Substituindo:

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 = 3 + sen ⁡ 0 - 3 - tg ⁡ 0 0 5 = 3 - 3 0 = 0 0

Passo 2

Eu não faria ideia de como começar essa questão, não fosse essa diferença de raízes quadradas, que me faz lembrar daquela relação de produtos notáveis:

a - b a + b = a 2 - b 2

Onde o meu a seria a primeira raiz, b a segunda e o que eu tenho ali é um a - b . Vou multiplicar em cima e embaixo por a + b = 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x :

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5

= lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x + tg ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Passo 3

Gente, agora basta pegar um desses x do x 5 no denominador e dividir a tangente e o seno, abrindo ainda a tangente como seno sobre cosseno:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x + sen ⁡ x cos ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Passo 4

Agora, no primeiro termo do primeiro limite fundamental trigonométrico que apareceu ali temos que abrí-lo pela relação trigonométrica que diz que sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x em cima e embaixo para poder substitituí-lo:

lim x → 0 ⁡ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Agora nós podemos Substituir os limites fundamentais trigonométricos por 1 e os valores que não geraram indeterminações. Você vai ver que o único problema é naquele x 4 no denominador e o último termo do limite:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x . lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= 2 1 1 + 1 1 1 lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + 0 + 3 + 0

= 3 lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 2 3 = 3 2 lim x → 0 ⁡ 1 x 4

Repara que para 1 x 4 com x indo a 0 nós vamos tender lateralmente pelos dois lados a + ∞ ! Então sua tendência é para + ∞ .

Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 = + ∞

Exercício Resolvido #4

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 1

Substituindo:

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = 0 1 - 1 3 0 3 = 0 0

Passo 2

Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele 1 pode ser escrito como 1 3 . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Nesse caso, o nosso a será 1 e b = cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 3

Agora, aquele termo 1 - cos ⁡ x ali pode ser multiplicado por 1 + cos ⁡ x e através do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Podemos abrir esse cara como:

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → 1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por 1 + cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Passo 4

Agora a questão é só de simplificar os termos:

lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele x do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de cos ⁡ 0 = 1 :

lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = 1 + 1 + 1 2 1 1 + 1

= 3 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = 3 2

Exercício Resolvido #5

Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Substituindo ficamos com um 0 0 :

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = 0 0

Passo 2

Essa questão depende apenas do encaixe do limite fundamental trigonométrico. Temos um termo dentro do argumento do seno para qual quando x → π 2 vai a 0 . Afinal, c o s   π 2 → 0 . Chamando u = cos ⁡ x , teremos na nossa substituição:

u = cos ⁡ x   ; x → π 2

u → cos ⁡ π 2 = 0

Basicamente, é como se tivéssemos o seguinte acontecendo:

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Passo 3

OK, dado que esse é o limite fundamental (para u ), sabemos o resultado final:

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Resposta

lim x → π 2 ⁡ sen ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x = 1

Exercício Resolvido #6

Calcule o limite, caso exista.

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x

Passo 1

Se eu substituir caímos numa indeterminação de ∞ 0 :

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = ∞ sen ⁡ 0 = ∞ 0

Passo 2

A ideia aqui, então, é forçar aparecer o termo dentro do seno, que está zerando, embaixo dele próprio. No caso, o C x . Temos ali um seno ao cubo, então vou multiplicar em cima e embaixo por C x 3 :

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x C x 3 C x 3

= lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 x C x 3

Passo 3

Vou separar os limites fundamentais do resto:

lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 x C x 3 = lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ x C x 3

= lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2

= lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2

Passo 4

Para resolver o primeiro limite precisamos de uma substituição u = C x . Nesse caso,

u = C x   ; x → ∞

u → C ∞ = 0

Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro termo e o x → ∞ no segundo:

lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2 = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2

= 1 3 0

= 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = 0

Exercício Resolvido #7

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9

Passo 1

Substituindo:

lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9 = sen ⁡ 9 - 6 - 3 9 - 18 + 9 = 0 0