Teoria Completa
Limites fundamentais trigonométricos
Segure essa:
POW! Como resolver esse limite? Para tal, vamos usar o limite fundamental trigonométrico:
Esse limite costuma aparecer em indeterminações ou em , de uma forma mais “escondida” algebricamente. Então, o detalhe é que nem sempre ele vai estar claro para ser substituído e o desafio da questão é justamente achar o limite fundamental escondido.
No nosso exemplo, veja que:
Assim, podemos substituir:
Repare que, com isso, apareceu o limite fundamental trigonométrico. Agora é só substituir e partir para o abraço:
Limites fundamentais e propriedades trigonométricas
Nem sempre poderemos resolver um limite com uma propriedade trigonométrica tão tranquila quanto essa. Em alguns momentos, será necessário usar outras relações, como:
Além disso, podemos precisar multiplicar pelo conjugado para usá-la, como em:
Separamos o seno de sobre do resto do limite:
Agora, para aprender toda essas manipulações. Todas, de verdade! É só ir nos exercícios. Vá lá praticar!
Limite com substituição
Por conta da sua recorrência, nós apresentamos a você o limite fundamental trigonométrico. Acontece, porém, que eles nem sempre vem com a cara que você espera. Originalmente ele tinha essa cara:
Entretanto, existe uma penca de questões em que os limites precisam ser adaptados ao seu formato original para podermos substituí-los de primeira. Confere o exemplo.
Ex:
Nesse caso, para fugir da indeterminação precisamos substituir o termo dentro do seno por . Fazendo isso, teríamos , sendo o termo embaixo , que ficará agora valendo . Quando , temos:
Vemos que vai tender a , bem como o . Assim,
A partir daí, podemos substituir o valor de primeira no Limite Fundamental Trigonométrico:
Esse seria o nosso resultado.
O importante aqui é você entender como manipulá-lo: chame algum dos termos de uma variável auxiliar . Aplique essa substituição para todos os termos que aparecem com a variável anterior (ou seja, transforme tudo, sem excessão, de para ) e no valor da tendência. Por fim, chegue ao formato original do Limite Fundamental Trigonométrico.
Vai exercitar agora!
Exercício Resolvido #1
Calcule:
Passo 1
Temos uma indeterminação do tipo :
Passo 2
Vamos abrir essa tangente em seno sobre cosseno:
Agora é só separar as exponenciais e o cosseno da jogada:
Passo 3
O primeiro vai embora pelo limite fundamental trigonométrico. Já o segundo pode ser substituído de primeira sem indeterminação:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule o limite, caso exista.
Passo 1
Substituindo teremos indeterminação:
Passo 2
Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse do numerador.
Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:
Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:
Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:
Passo 3
Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:
Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que :
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule o limite, caso exista.
Passo 1
Substituindo:
Passo 2
Eu não faria ideia de como começar essa questão, não fosse essa diferença de raízes quadradas, que me faz lembrar daquela relação de produtos notáveis:
Onde o meu seria a primeira raiz, a segunda e o que eu tenho ali é um . Vou multiplicar em cima e embaixo por :
Passo 3
Gente, agora basta pegar um desses do no denominador e dividir a tangente e o seno, abrindo ainda a tangente como seno sobre cosseno:
Passo 4
Agora, no primeiro termo do primeiro limite fundamental trigonométrico que apareceu ali temos que abrí-lo pela relação trigonométrica que diz que em cima e embaixo para poder substitituí-lo:
Agora nós podemos Substituir os limites fundamentais trigonométricos por e os valores que não geraram indeterminações. Você vai ver que o único problema é naquele no denominador e o último termo do limite:
Repara que para com indo a nós vamos tender lateralmente pelos dois lados a ! Então sua tendência é para .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Substituindo:
Passo 2
Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele pode ser escrito como . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:
Nesse caso, o nosso será e .
Passo 3
Agora, aquele termo ali pode ser multiplicado por e através do seguinte produto notável:
Podemos abrir esse cara como:
E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:
Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por .
Passo 4
Agora a questão é só de simplificar os termos:
Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de :
Resposta
Exercício Resolvido #5
Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Substituindo ficamos com um :
Passo 2
Essa questão depende apenas do encaixe do limite fundamental trigonométrico. Temos um termo dentro do argumento do seno para qual quando vai a . Afinal, . Chamando , teremos na nossa substituição:
Basicamente, é como se tivéssemos o seguinte acontecendo:
Passo 3
OK, dado que esse é o limite fundamental (para ), sabemos o resultado final:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Calcule o limite, caso exista.
Passo 1
Se eu substituir caímos numa indeterminação de :
Passo 2
A ideia aqui, então, é forçar aparecer o termo dentro do seno, que está zerando, embaixo dele próprio. No caso, o . Temos ali um seno ao cubo, então vou multiplicar em cima e embaixo por :
Passo 3
Vou separar os limites fundamentais do resto: