Teorema do Valor intermediário

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Teoria

Bora bater um papo sobre o Teorema do Valor Intermediário?!

Aqui é no RespondeAí você vai aprender sobre Teorema do Valor Intermediário e todas aquelas matérias de exatas que te fazem perder o sono!

Então bora lá!

Também conhecido como Teorema de Bolzano ele diz que, para uma função contínua em um intervalo fechado seja um número qualquer entre e , em que . Então existe um número em tal que.

-Oiii?!

Pra ficar mais claro, eu vou te propor um desafio!

Eu quero que você tente com apenas uma linha, conectar os pontos da figura abaixo sem passar por ou seja pelo eixo !

Dois pontos no sistema cartesiano (x,y).
Dois pontos no sistema cartesiano (x,y).

Essa reta (ou curva) vai ser nossa função e você pode quebrar a cabeça, mas esse problema não tem solução!

função f(x) com a<x<b.
função f(x) com a

A função necessariamente vai cruzar o eixo . E o ponto onde a reta toca o eixo já é um ponto intermediário, o que comprova que precisa existir pelo menos um ponto intermediário de valor entre e !

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma função

Esse é um caso particular do Teorema do Valor Intermediário e para entende-la vamos usar a mesma imagem do exemplo anterior:

função f(x) com a<x<b.
função f(x) com a

Uma consequência da definição do Teorema de Bolzano é que, se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, ela tem ao menos uma raiz real naquele intervalo.

Repare no desenho, tem sinal positivo, enquanto tem sinal negativo e não tem como ligar os pontos sem cruzar o eixo , onde se encontra uma raiz da função!

Exemplo:

Vamos então aplicar esse conceito na prática! Provando que  tem ao menos uma raiz real no intervalo .

Como  e , a função trocou de sinal, ou seja, pelo teorema do Valor Intermediário (TVI), existe ao menos uma raiz real no intervalo!

-Simples assim? Só isso?

Sim!!

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma equação

Imagine que eu te perguntasse se essa equação tem solução:

Mas você tem que provar pelo teorema do valor intermediário! Por onde você começaria?

Podemos manipular a equação e fazer:

Então podemos usar o TVI para verificar sobre a existência de raízes dela. Isso é a mesma coisa que procurar pontos onde as funções são iguais!

Ou seja, se você achar dois pontos em que  mude seu sinal nós já garantimos que haverá pelo menos uma solução para essa igualdade inicial!

Ainda ficou com dúvida? Tem um vídeo aqui em baixo pra te ajudar!

Agora vamos fazer exercícios?!

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma função

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma equação

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A partir dos gráficos abaixo, justifique, se para cada função:

  1. A tese do Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.
  2. A hipótese Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.

Obs: A tese pode ser interpretada como o “resultado” de um teorema. A hipótese pode ser interpretada como a “condição” para que o teorema funcione.

a):

b):

c):

Passo 1

Bom galera, a primeira coisa que a gente precisa pensar é quem é a tese e quem é a hipótese do TVI.

Basicamente:

A hipótese é a função ser contínua no intervalo [ a , b ] , além de f a ≠ f b . Ou seja, essa é a condição.

E a tese é que, seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , então existe c tal que f c = N .

Em outras palavras, o teorema diz que para todos os valores da função entre f ( a ) e f ( b ) , o c correspondente vai estar entre a e b , ou: c ∈ a , b .

Passo 2

Vamos lá:

a):

Primeiro:

f a ≠ f b ? … S i m !

A função é contínua em [ a , b ] ? Não, tem uma descontinuidade ali no gráfico.

Porém, se você reparar bem, para todos os pontos da função naquele intervalo, sempre existe um c que gera o valor da função nesse ponto, e c sempre pertence a [ a , b ] .

Isso acontece mesmo na descontinuidade com um salto!!!!.

Então, mesmo a função sendo descontínua:

A tese é atendida.

A hipótese não é atendida.

Passo 3

b):

Vamos lá de novo:

Primeiro:

f a ≠ f b ? … S i m !

A função é contínua em [ a ,   b ] ? Não, Ela também possui uma descontinuidade. Porém, vamos analisar essa descontinuidade:

Ela acontece no y correspondente ao f c 0 . Mas onde está esse c 0 ? Dentro do intervalo a , b ?

Não, ele não tá ali, pois c 0 > b . Isso quebra o resultado do teorema, pois dentro do intervalo vai existir um número cuja imagem na função não existe. Ou seja, não existe f ( c ) para o c da imagem abaixo:

Então:

A tese não é atendida.

A hipótese não é atendida.

Passo 4

c):

Vamos lá de novo:

Primeiro:

f a ≠ f b ? … S i m !

A função é contínua em [ a , b ] ? Sim! Claramente contínua.

A pergunta é: Existe o tal do c ? Claro que sim! Se a tese e a hipótese são atendidas, o teorema tem o seu sentido completo!

Na verdade, existem vários c ' s , se você procurar, como por exemplo:

Então:

A tese é atendida.

A hipótese é atendida.

Resposta

a):

A tese é atendida.

A hipótese não é atendida.

b):

A tese não é atendida.

A hipótese não é atendida.

c):

A tese é atendida.

A hipótese é atendida.

Exercício Resolvido #2

Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

f x = 1 + x c o s π x 2

Passo 1

Rapaz, eu sinceramente desconheço a cara dessa função, e acho que vai dar trabalho demais tentar supor valores muito complexos que possam provar, pelo TVI, a mudança de sinal. Então o que eu vou fazer?

Vou substituir uns valores mais “bonitinhos” para ver um intervalo no qual eu tenha a certeza de que a função mudará de sinal. Acho uma boa pedida chutar x = 0 , x = 1 e x = 2 , por exemplo:

f 0 = 1 + 0 c o s π 0 2 = 1 + 0 c o s 0 = 1

f 1 = 1 + 1 c o s π 1 2 = 1 + 1 c o s π 2 = 1 + 1 0 = 1

f 2 = 1 + 2 c o s π 2 2 = 1 + 2 c o s π = 1 + 2 - 1 = - 1

Viu? Não é que deu certo? Aconteceu que do 1 para o 2 mudou de sinal esse f x . Com isso, temos um intervalo de amplitude 1 no qual a função tem um zero: [ 1,2 ] .

Resposta

[ 1,2 ]

Exercício Resolvido #3

Mostre que a equação x 3 - 15 x + 1 = 0 possui três soluções no intervalo [ - 4 ; 4 ]

Passo 1

Essa é a cara de uma questão de Teorema do valor intermediário. Se descobrirmos que a função muda de sinal pelo menos 3 vezes nesse intervalo, garantiremos que ela terá, no mínimo, 3 raízes. Vou substituir o valor das pontas, em primeiro lugar, o - 4 e o 4 . Para fazer isso, eu vou analisar a função f x = x 3 - 15 x + 1 , buscando suas raízes nas mudanças de sinal, o que me dará as soluções da equação inicial:

f - 4 = ( - 4 ) 3 - 15 - 4 + 1 = - 3

f 4 = ( 4 ) 3 - 15 ( 4 ) + 1 = 5

Já garantimos pelo menos uma mudança, ou seja, uma raiz. Isso bastaria se ele pedisse apenas uma solução no intervalo, como na maioria das questões. Mas o cara foi além, pediu 3 . Agora, temos que pensar em outros pontos para chutar.

Passo 2

Vou fazer assim, tentar todos os inteiros de - 4 até 4 . Não vai dar trabalho, relaxa:

f - 4 = - 3

f - 3 = 19

f - 2 = 23

f - 1 = 15

f 0 = 1

f 1 = - 13

f 2 = - 21

f 3 = - 17

f 4 = 5

Então olha aqui, mudou o sinal de - 4 para - 3 , de 0 para 1 , e de 3 para 4 . Não queríamos 3 mudanças de sinal no intervalo - 4 ; 4 ? Pronto, pelo Teorema do Valor Intermediário garantimos que existem pelo menos 3 soluções para a equação do problema nesse intervalo.

No caso, trabalhamos com um polinômio do terceiro grau, que tem como máximo número de raízes 3 . Prova-se, enfim, que a equação possui exatamente três soluções no intervalo.

Resposta

A   e q u a ç ã o     p o s s u i   t r ê s   s o l u ç õ e s   n o   i n t e r v a l o  

Exercício Resolvido #4

Seja f uma função contínua em ℝ tal que f 0 = 1 e f 2 = - 1 , e seja g x = x 2 + 3 x + 2 . A função composta h x = f g x possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes.

Passo 1

Bom, a questão pede os intervalos contendo as raízes, isso nos dá um indício de que vamos usar o teorema do valor intermediário (TVI).

Só relembrando, o TVI serve para provar que a função passa por qualquer ponto N , desde que exista pontos menores que N e maiores que N e a função seja contínua no intervalo formado por eles.

Como estamos buscando raízes, o ponto N que estamos falando é

h x = 0

Então agora vamos procurar pontos menores e maiores que ele, ok?!

Passo 2

Então, galerinha, o problema nos forneceu duas informações importantes. A primeira é,

h x = f g x

ou seja, h ( x ) é dependente de f ( x ) .

Tá mas o que a gente faz com isso? Aí que entra segunda informação importante:

f 0 = 1

f 2 = - 1

Ainda não se ligou? Vamos olhar estes pontos no gráfico cartesiano são assim:

Lembra que ele disse que   f é continua? Então, repara que para ligar os pontos amarelos eu preciso passar pelo h x = 0 . Ou seja, a gente pode aplicar o TVI neste caso.

Mas o que falta agora? Lembra que,

h x = f g x

Então vamos ter que achar valores de g ( x ) que sejam igual a 0 e 2 , pois são os pontos em f que nós conhecemos.

Isso significa que a função h x = f g x troca de sinal entre g x = 0 e g x = 2 .

Passo 3

Igualando, podemos descobrir quais valores de x fazem g ser igual a 0 e 2:

g x = 0 ⟹ x 2 + 3 x + 2 = 0

g x = 2 ⟹ x 2 + 3 x + 2 = 2

Resolvendo a equação de segundo grau, as soluções de g x = 0 estão no conjunto abaixo:

x ∈ - 1 , - 2

Ou seja, quando eu tiver x igual a - 1 e - 2 , o nosso h ( x ) será 1 .

No plano cartesiano vamos ter os seguintes pontos de h x

- 1,1         e         - 2,1

Isso porque fizemos

h x = f g x = 1 ⇒ g x = 0   ⇒ h x = 1

Analogamente, as soluções de g x = 2 estão no conjunto abaixo:

x ∈ 0 , - 3

Isso resulta nos seguintes pontos de h x

0 , - 1         e         - 3 , - 1

Isso porque fizemos

h x = f g x = - 1 ⇒ g x = 2 ⇒ h x = - 1  

No gráfico cartesiano de h x , teríamos o seguinte:

Passo 4

Portanto, como podemos ver, a função troca de sinal no intervalo:

I 1 = ( - 3 , - 2 )

E também no intervalo:

I 2 = ( - 1 ,   0 )

E pelo teorema do Valor Intermediário, temos que existe ao menos uma raiz em cada um desses intervalos, conforme queríamos demonstrar.

Resposta

O s   i n t e r v a l o s   s ã o   I 1 = - 3 , - 2   e   I 2 = ( - 1 ,   0 )

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz
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( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use