Enunciado

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y = x 1 + k x

Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas usando uma calculadora (ou um computador). Desenhe vários membros de cada família na mesma tela.

Passo 1

Bom, pessoal. Esse exercício pede pra descobrir quem são as trajetórias ortogonais da curva do enunciado. Então nosso objetivo é chegar na equação da curva que faz 90 ° com a curva de equação y = x 1 + k x     .

Isso significa que as retas tangentes de cada curva devem ser perpendiculares entre si nos pontos de intersecção. Como conseguir isso?

Bom, a gente sabe que reta tangente tem a ver com derivada. Então, de algum modo, vamos ter que relacionar as derivadas das duas curvas.

Passo 2

Que tal calcular a derivada da curva do enunciado? É só derivar os dois lados da equação, lembrando da regra do quociente:

y = x 1 + k x

d y d x = 1 . 1 + k x - x . k 1 + k x 2 = 1 1 + k x 2

Para o k desaparecer, a gente isola ele na equação original, e depois joga na equação da derivada:

y = x 1 + k x

y + k x y = x

k = x - y x y

d y d x = 1 1 + x - y x y x 2 = 1 x y + x 2 - x y x y 2 = 1 x y 2 = y 2 x 2

Passo 3

Então beleza! Já sabemos a derivada da curva do enunciado, agora como relacionar com a derivada da trajetória ortogonal?

Relembrando, as retas tangentes devem formar 90 ° e a inclinação dessas retas é justamente a derivada. Logo, podemos aplicar aquela regrinha de retas perpendiculares: trocar o sinal e inverter a fração da inclinação. Então, olha como fica a nossa derivada da trajetória ortogonal:

d y d x = - x 2 y 2

Passo 4

Show! O passo anterior acabou nos dando uma equação diferencial separável correspondente à trajetória ortogonal, olha que presentão! Agora é mão na massa pra resolver:

d y d x = - x 2 y 2

y 2   d y = - x 2   d x

∫ y 2   d y = ∫ - x 2   d x + C

y 3 3 = - x 3 3 + C

x 3 + y 3 = C

Olha aí! Chegamos à equação que descreve a família de trajetórias ortogonais! Bora dar uma conferida nos gráficos das duas famílias de curvas pra saber se elas são ortogonais mesmo?

Resposta

x 3 + y 3 = C

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