Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.4 - Ex. 57

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desse livro

  1. Se f ( x ) = x 2 - x ² , enconte f ' ( x ) .
  2. Verifique se sua resposta em (a) é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

Passo 1

  1. Vamos dar uma arrumada na função primeiro:
  2. f ( x ) = x 2 - x ² 1 2

    Passo 2

    Aqui vamos usar a regra do produto:

    f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

    Temos que:

    f x = x

    e

    g x = 2 - x ² 1 2

    Passo 3

    Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    f ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

    Passo 4

    Vamos agora derivar g ' ( x ) , usando a regra da cadeia, da função constante e do polinômio:

    c ' = 0 e x n ' = n x n - 1

    g ' x = 2 - x 2 1 2 ' = 1 2 . 2 - x 2 1 2 - 1 . 2 - x 2 ' = 1 2 . 2 - x 2 - 1 2 . 0 - 2 x 2 - 1 = 2 - x 2 - 1 2 2 . - 2 x = - x 2 - x ² - 1 2

    Passo 5

    Agora é só substituir na expressão:

    f ' ( x ) = f ' x g x + g ' x f x = 1 . 2 - x 2 1 2 + - x 2 - x ² - 1 2 . x = 2 - x 2 - x 2 2 - x 2 = 2 - x 2 - x 2 2 - x 2 = 2 - 2 x ² 2 - x ²

    Passo 6

  3. Temos aqui o gráfico de f e f ' :

Temos que f ' = 0 quando f tem uma linha tangente horizontal, f ' é negativa quando f é

decrescente, e f ' é positiva quando f está aumentando.

Resposta

  1. f ' x = 2 - 2 x ² 2 - x ²
  2. Temos que f ' = 0 quando f tem uma linha tangente horizontal, f ' é negativa quando f é decrescente, e f ' é positiva quando f está aumentando.

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