Enunciado

Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

lim x → - 6 ⁡ 2 x + 12 x + 6

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim x → - 6 ⁡ 2 x + 12 x + 6

Hm... O limite envolve módulo, então vamos analisar os limites laterais!!

Mas o que são esses limites??

Basicamente eles descrevem o comportamento de uma função em relação a um ponto específico, considerando abordagens à direita e à esquerda desse ponto.

No nosso caso, temos x tendendo a - 6 pela direita e pela esquerda respectivamente:

lim x → - 6 + ⁡ 2 x + 12 x + 6

lim x → - 6 - ⁡ 2 x + 12 x + 6

Dessa forma, o nosso limite só existe se os limites laterais forem iguais!!

Agora vamos lá!!

Passo 2

Primeiro vamos analisar o limite pela direita.

Temos que o que tem dentro do módulo é positivo, ou seja:

x + 6 = + x + 6 para x > 6

Então:

lim x → - 6 + ⁡ 2 x + 12 x + 6 = lim x → - 6 + ⁡ 2 x + 12 x + 6

Podemos simplificar o numerador, de uma forma que elimine o denominador, vamo colocar o número 2 em evidência:

lim x → - 6 + ⁡ 2 x + 6 x + 6 = lim x → - 6 + ⁡ 2 ∴

lim x → - 6 + ⁡ 2 ( x + 6 ) x + 6 = 2

Passo 3

Agora vamos analisar pela esquerda.

Temos que o que tem dentro do módulo é negativo, ou seja:

x + 6 = - x + 6 para x < 6

Então:

lim x → - 6 - ⁡ 2 x + 12 x + 6 = lim x → - 6 - ⁡ 2 x + 12 - ( x + 6 )

Podemos simplificar o numerador usando o mesmo método usado no passo 2:

lim x → - 6 - ⁡ 2 x + 6 - x + 6 = lim x → - 6 - ⁡ - 2 ∴

lim x → - 6 - ⁡ 2 ( x + 6 ) - ( x + 6 ) = - 2

Passo 4

Por fim, como temos que os dois limites tiveram resultados diferentes, ou seja:

lim x → - 6 + ⁡ 2 x + 12 x + 6 ≠ lim x → - 6 - ⁡ 2 x + 12 x + 6

Isso faz com que nosso limite

lim x → - 6 ⁡ 2 x + 12 x + 6

não exista.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim x → - 6 ⁡ 2 x + 12 x + 6 não existe

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