Enunciado

  1. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
  2. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.

x = 1 - 2 t ,   y = 1 2 t - 1 ,   - 2 ≤ t ≤ 4

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a curva parametrizada:

x = 1 - 2 t

  y = 1 2 t - 1

- 2 ≤ t ≤ 4

E vamos criar o gráfico dessa curva marcando pontos em um gráfico. Para isso, a gente vai criar uma tabela, onde colocaremos valores de t e seus respectivos valores de x e y , que são dependentes de t .

Já na letra b), o que iremos fazer para colocarmos nossa curva em coordenadas cartesianas é isolar o valor de t em uma das duas curvas, e substituirmos na outra.

Então podemos isolar o t em x e depois iremos colocar esse valor de t em y .

Passo 2

  1. Queremos esboçar a curva que tem as equações paramétricas dadas.
  2. Bom, para isso, vamos criar uma tabelinha de valores que relacionam t , x e y . Aí poderemos plotar esses pontos no gráfico.

    Assim, por exemplo, quando t = - 2 , teremos x = 5 e y = - 2 .

    E a curva que formamos, com ajuda do GeoGebra e dos nossos pontos é:

    Veja que a medida que t cresce, x diminui mas y cresce também.

    Passo 4

  3. Eliminando o parâmetro, temos que:

x = 1 - 2 t

Isso implica que:

2 t = - x + 1

E

t = - 1 2 x + 1 2

E então, substituindo em y :

y = 1 2 t - 1

y = 1 2 - 1 2 x + 1 2

Realizando a distributiva:

y = - 1 4 x + 1 4 - 1

Temos então que a nossa curva é:

y = - 1 4 x - 3 4

Agora vamos descobrir o novo intervalo:

Antes a gente tinha:

- 2 ≤ t ≤ 4

t = - 1 2 x + 1 2

Quando t = - 2 :

- 2 = - 1 2 x + 1 2

- 4 = - x + 1

x = 5

Quando t = 4 :

4 = - 1 2 x + 1 2

8 = - x + 1

7 = - x

x = - 7

E então teremos:

- 7 ≤ x ≤ 5

Resposta

  1. y = - 1 4 x - 3 4
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