Enunciado

( a ) Use uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico de f x = 2 x - 3 x .

b Começando com o gráfico da parte a , esboce um gráfico da primitiva F que satisfaça F 0 = 1 .

( c ) Use as regras dessa seção para achar uma expressão para F ( x ) .

d Faça o gráfico de F usando a expressão da parte ( c ) . Compare com seu esboço da parte ( b ) .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar a primitiva da função f ( x ) e esboça-lá graficamente. Porém, iremos antes esboçar um gráfico da primitiva sem conhecer a função para depois comparar o esboço com o real gráfico da primitiva.

Passo 2

( a ) Esboçando a função graficamente, temos

b Podemos esboçar o gráfico com base em algumas conclusões. Como F 0 = 1 , começamos o gráfico em ( 0 ,   1 ) . No ponto onde nossa função f possui um mínimo local temos um ponto onde a derivada é nula. Dessa forma, esse ponto é um ponto de inflexão da nossa primitiva. Nos intervalos onde nossa função é negativa, deveremos ter um decrescimento da primitiva e nos intervalos onde a função é positiva deveremos ter um crescimento da primitiva. Podemos assim esboçar o seguinte gráfico

Passo 3

( c ) Iremos agora encontrar a equação da primitiva com base em f ( x ) .

f x = 2 x - 3 x

F x = 2 2 x 2 - 3 x 3 2 3 / 2 + C = x 2 - 2 x 3 2 + C

Derivando F ( x ) temos

F ' x = 2 x - 3 x

Dessa forma, como f x = F ' ( x ) , então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) . Podemos encontrar o valor da constante C aplicando a seguinte condição

F 0 = 1

F x = x 2 - 2 x 3 2 + C

1 = 0 2 - 2 ( 0 ) 3 2 + C

C = 1

Dessa forma, temos

F x = x 2 - 2 x 3 2 + 1

( d ) Esboçando o gráfico de F ( x ) , temos

Que condiz com o esboço do item ( b ) .

Resposta

a

( b )

( c )

F x = x 2 - 2 x 3 2 + 1

( d )

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