Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.9 - Ex. 56

Ver Outros Exercícios
desse livro

( a ) Use uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico de f x = 2 x - 3 x .

b Começando com o gráfico da parte a , esboce um gráfico da primitiva F que satisfaça F 0 = 1 .

( c ) Use as regras dessa seção para achar uma expressão para F ( x ) .

d Faça o gráfico de F usando a expressão da parte ( c ) . Compare com seu esboço da parte ( b ) .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar a primitiva da função f ( x ) e esboça-lá graficamente. Porém, iremos antes esboçar um gráfico da primitiva sem conhecer a função para depois comparar o esboço com o real gráfico da primitiva.

Passo 2

( a ) Esboçando a função graficamente, temos

b Podemos esboçar o gráfico com base em algumas conclusões. Como F 0 = 1 , começamos o gráfico em ( 0 ,   1 ) . No ponto onde nossa função f possui um mínimo local temos um ponto onde a derivada é nula. Dessa forma, esse ponto é um ponto de inflexão da nossa primitiva. Nos intervalos onde nossa função é negativa, deveremos ter um decrescimento da primitiva e nos intervalos onde a função é positiva deveremos ter um crescimento da primitiva. Podemos assim esboçar o seguinte gráfico

Passo 3

( c ) Iremos agora encontrar a equação da primitiva com base em f ( x ) .

f x = 2 x - 3 x

F x = 2 2 x 2 - 3 x 3 2 3 / 2 + C = x 2 - 2 x 3 2 + C

Derivando F ( x ) temos

F ' x = 2 x - 3 x

Dessa forma, como f x = F ' ( x ) , então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) . Podemos encontrar o valor da constante C aplicando a seguinte condição

F 0 = 1

F x = x 2 - 2 x 3 2 + C

1 = 0 2 - 2 ( 0 ) 3 2 + C

C = 1

Dessa forma, temos

F x = x 2 - 2 x 3 2 + 1

( d ) Esboçando o gráfico de F ( x ) , temos

Que condiz com o esboço do item ( b ) .

Resposta

a

( b )

( c )

F x = x 2 - 2 x 3 2 + 1

( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são

Ver Mais

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co

Ver Mais

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co

Ver Mais

Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua deriv

Ver Mais

Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       -

Ver Mais