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10. Calcule

f ) ∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Podemos perceber que 1 x é a derivada de ln ⁡ x . Ou seja, podemos fazer

u = ln ⁡ x   ⇒ d u = 1 x d x

Arrumando a integral podemos ver melhor o d u

∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x =   ∫ 1 ln ⁡ x 2 1 x   d x

Substituindo

∫ 1 ln ⁡ x 2 1 x   d x =   ∫ 1 u 2 d u  

Passo 2

Lembrando que ∫ x α d x = x α + 1 α + 1 + k

∫ 1 u 2   d u   = ∫ u - 2 d u = 1 - 1 u - 1 + k =   - 1 u + k =   - 1 ln ⁡ x + k  

Resposta

Portanto,

∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x = - 1 ln ⁡ x + k  

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