Enunciado

13-16. Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.

16.

(a) ∫ - 10 - 5 6 d x

(b) ∫ - π 3 π 3 sin ⁡ x d x

(c) ∫ 0 3 x - 2 d x

(d) ∫ 0 2 4 - x 2

Passo 1

Vamos lá! A ideia é desenharmos esses gráficos e utilizarmos a nossas fórmulas de geometria plana para conseguirmos calcular a área, caso não lembre da fórmula, sem problemas, vou te lembrando no caminho.

Sem mais enrolação...

Na letra a), temos uma função constante ( y = 6 ) , então é uma reta paralelo ao eixo x . Calmaaa, eu vou desenhar o gráfico!

Essa figura é um retângulo e a área de um retângulo é dado por A = b a s e   × a l t u r a

Ora, a base é o comprimento daquela reta que vai de - 10 até - 5 , então b a s e = 5

Já a altura é a comprimento do segmento que vai de 0 até 6 , então a a l t u r a = 6

Calculando a área, temos:

A = 6 × 5 = 30

Sabemos que a integral é numericamente igual a área, então temos:

∫ - 10 - 5 6 d x = 30

Vamos para a letra b),

∫ - π 3 π 3 sin ⁡ x d x

Vamos desenhar o gráfico da função seno.

Beleza!! Só que temos que pegar os valores de x entre - π 3 e π 3 . Então fica assim:

Só que se você sabe que a função seno é simétrica à origem, pois é uma função ímpar, mas no que isso nos ajuda?

Ora, tudo que está a direita delimitado por 0 e π 3 é igual ao que está a esquerda que é delimitado por - π 3 e 0 .

Portanto a área da região em vinho à esquerda é igual a área á direita, então a área líquida é igual a 0 !!

Só que nesse nosso exercício a área é numericamente igual a integral, portanto

∫ - π 3 π 3 sin ⁡ x d x = 0

Passo 2

Vamos para a letra c)!

É uma função modula e como toda função modular temos que rebater o gráfico da função que está dentro, mais ou menos assim:

Agora rebatendo, temos:

Queremos a região acima do eixo x e entre os pontos x = 0 e x = 3 .

A área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   x   a l t u r a 2

Vamos começar com área 1, temos que a altura vai de 0 até 2 , então a l t u r a = 2 e a base a mesma coisa, vai de 0 até 2 , então b a s e = 2 .

Calculando a área, temos:

A = 2   x   2 2 = 2

Vamos para a área 2, temos que a altura vai de 0 até 1 , então a l t u r a = 1 e a base a mesma coisa, vai de 0 até 1 , então b a s e = 1

Calculando a área, temos:

A = 1 x   1 2 = 1 2

Então para calcularmos a área total, temos que somar essas duas áreas:

A t o t a l = 2 + 1 2 = 5 2

Sabemos que a integral é numericamente igual a área, então:

∫ 0 3 x - 2 d x = 5 2

Passo 3

Agora para finalizar! Ufaaaaaa! Vamos para a letra d)

∫ 0 2 4 - x 2

Então temos que desenhar o gráfico de y = 4 - x 2 , daqui tiramos que y > 0 e 0 ≤ x ≤ 2 , desenhando esse gráfico, temos:

Que é a quarta parte de uma circunferência de raio R = 2 , a área de uma circunferência é A = π r 2 , então a quarta parte de uma circunferência é : A = π r 2 4

Então temos que:

A = π 2 2 4 = 4 π 4 = π

Como a área é numericamente igual a integral, temos:

∫ 0 2 4 - x 2 = π

Resposta

(a) 30

(b) 0

(c) 5 2

(d) π

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Verificar se o resultado das seguintes integrais é postivo, negativo ou zero, sem calculá-las. ∫ - 1 3 ( x 2 - 2 x - 3 ) d x
∫ 0 2 √ 2 x ( x + √ 5 )d x
∫ π / 4 3 π 4 s e n x c o s x d x
∫ 0 π 2 c o s x 1 + s e n x 5 d x