Enunciado

25-28. Use o Teorema 5.5 . 4 e fórmulas apropriadas de Geometria para calcular as integrais.

25 . ∫ - 1 3 4 - 5 x d x

Passo 1

Utilizamos essas propriedades aqui:

∫ a b f x + g ( x ) d x = ∫ a b f x d x + ∫ a b g ( x ) d x

∫ a b c f x d x = c ∫ a b f x d x

E usaremos o fato de que a área é igual a integral.

Então vamos lá

Passo 2

Vamos começar quebrando essa integral.

∫ - 1 3 4 - 5 x d x = ∫ - 1 3 4 d x - ∫ - 1 3 5 x d x

Então precisaremos desenhar o gráfico de y = 4 destacando o intervalo de - 1 e 3 .

E teremos que calcular essa área, essa figura é um retângulo.

A base vai de - 1 até 3 , então tem comprimento igual 4

E a altura vai de 0 até 4 , então tem comprimento igual a 4 .

A área do retângulo é dada por b a s e   × a l t u r a , então A = 4 × 4 = 16 .

∫ - 1 3 4 d x = 16

Agora vamos deixar para o passo 3, o cálculo da integral:

∫ - 1 3 5 x d x

Passo 3

Agora precisamos desenhar o gráfico de y = 5 x , destacando o intervalo de - 1 a 3 .

Temos que calcular a área do triângulo em vermelho, que é a multiplicação dos dois catetos.

A = c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0   até 3 , então tem comprimento igual a 3 .

O segundo cateto vai de 0 até 15 , então tem comprimento igual a 15 .

A = 1 5   x   3 2 = 45 2

Agora precisamos calcular do triângulo em preto, que sendo um triângulo retângulo, é dada pela multiplicação dos dois catetos, só que essa área está por baixo do eixo x , então a área com sinal é negativa.

A = - c a t 1   x   c a t 2 2

O primeiro cateto vai de - 1   até 0 , então tem comprimento igual a 1 .

O segundo cateto vai de - 5 até 0 , então tem comprimento igual a 5 .

A = - 1   x   5 2 = - 5 2

Então voltando para a integral.

∫ - 1 3 5 x d x = 45 2 - 5 2 = 40 2 = 20

Então resumindo, temos que:

∫ - 1 3 4 d x = 16

∫ - 1 3 5 x d x = 20

E voltando para a integral inicial, temos:

∫ - 1 3 4 - 5 x d x = 16 - 20 = - 4

∫ - 1 3 4 - 5 x d x = - 4

Resposta

∫ - 1 3 4 - 5 x d x = - 4

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