Enunciado

Verificar se o resultado das seguintes integrais é postivo, negativo ou zero, sem calculá-las.

∫ - 1 3 ( x 2 - 2 x - 3 ) d x

Passo 1

Ao analisarmos nosso fator que estamos integrando vemos que é im polinômio de segundo grau e já sabemos como encontrar suas raízes.

Temos que a soma das raízes é 2 e o produto entre elas é – 3, logo suas raízes só podem ser -1 e 3

Olha que coisa, as raízes são justamente nossos limites de integração e nesse intervalo nosso polinômio é negativo pois ele tem concavidade para cima.

Passo 2

Seja f x = x 2 - 2 x - 3   . Para x pertencente a [-1,3] temos:

f x = x 2 - 2 x - 3 < 0  

Passo 3

Agora vamos relembrar mais uma regra de integração.

Se f   e   g são integráveis em [a,b] e f x ≥ g ( x ) para todo x pertencente a [a,b], então :

∫ a b f x ≥ ∫ a b g ( x )

Então

f x = x 2 - 2 x - 3 < 0  

Integrando ambos os lados de [ - 1 , 3 ]    

∫ - 1 3 ( x 2 - 2 x - 3 ) d x < ∫ - 1 3 0 =   0

Portanto o valor dessa integral é negativo.

Resposta

Negativo

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