Determine dy/dx :

y = ∫ sec ⁡ x 2 1 t 2 + 1   d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite inferior de integração é sec ⁡ x   . Para isso aplicamos a regra da Ordem de Integração, que é dada por:

∫ b a f x d x =   - ∫ a b f x d x

Assim, temos:

F ' ( x ) = d y d x = d d x ∫ sec ⁡ x 2 1 t 2 + 1   d t = - ∫ 2 sec ⁡ x   1 t 2 + 1   d t

Passo 2

Neste caso, o limite superior de integração não é x , mas sec ⁡ x . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = - ∫ 2 u 1 t 2 + 1 d t                                     e                                               u = sec ⁡ x

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 3

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = - d d x ∫ 2 u 1 t 2 + 1   d t × d u d x = - 1 u 2 + 1   × sec ⁡ x t g   x = - sec ⁡ x   t g x sec 2 ⁡ x + 1

Resposta

- sec ⁡ x   t g x sec 2 ⁡ x + 1

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