1-38 Calcule a integral.

34. ∫ 1 2 x   a r c s e c   x d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = arcsec ⁡ x e x d x = d v .

u = arcsec ⁡ x                 →       d u = d x x 1 - x 2 x d x = d v           →       v = x 2 2

Passo 2

Assim, vamos ter que

∫ 1 2 x   a r c s e c x   d x = x 2 2 arcsec ⁡ x 1   2 - 1 2 ∫ 1 2 x 2 x 1 - x 2   d x

x 2 2 arcsec ⁡ x 1   2 - 1 2 ∫ 1 2 x 1 - x 2   d x

Agora ficou fácil, né?!

Para resolver a integral do lado direito é só fazer uma substituição simples. Para tanto, denote

u = 1 - x 2 → - d u 2 = x d x

Assim, vemos que

∫ x 1 - x 2   d x = - 1 2 ∫ d u u     = - u

Voltando para a nossa integral... lembre-se de fazer a substituição correta da variável u .

- 1 2 ∫ 1 2 x 1 - x 2   d x = 1 2 1 - x 2 1 2 = 1 2 - 3 - 0 = - 3 2

Por último, é só a gente calcular isso aqui

x 2 2 arcsec ⁡ x 1   2

Molezaaa!!!

x 2 2 arcsec ⁡ x 1   2 = 2 a r c s e c 2 -   a r c s e c 1 2 = 2 a r c s e c 2

Somando as respostas, vemos que

∫ 1 2 x   a r c s e c x   d x = 2 a r c s e c 2 + - 3 2

Resposta

2 a r c s e c 2 + - 3 2

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