1-38 Calcule a integral.

38. ∫ 0 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) e d x = d v .

u =   ln ⁡ ( x 2 + 1 )                 →       d u = 2 x x 2 + 1 d x d x = d v         →       v = x

Passo 2

Assim, vamos ter que

∫ 0 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = x ln ⁡ x 2 + 1 0 2 - ∫ 0 2 x 2 x x 2 + 1 d x  

Olha essa integral aí do lado direito. Não dá para resolvê-la por substituição simples. Então, o que a gente vai ter que fazer, é integrar por partes novamente.

Chamando 2 x 2 de u 1 e 1 x 2 + 1 d x de d v 1 , vemos que

u 1 = 2 x 2       →           d u 1 = 4 x d x 1 x 2 + 1 d x = d v 1         →                     v 1 = a r c t g ( x )  

Daí, obtemos

∫ 0 2 x 2 x x 2 + 1 d x   = 2 x 2 a r c t g x 0 2 - ∫ 0 2 4 x   a r c t g x d x

2 x 2 a r c t g x 0 2 - 4 ∫ 0 2 x   a r c t g x d x

2 x 2 a r c t g x 0 2 - 4 2 x 2 a r c t g x - x + a r c t g x 0 2

- 2 - x + a r c t g x 0 2 = - 2 - 2 + a r c t g 2

4 - 2 a r c t g ( 2 )

Passo 3

Calma, genteee. Já tá acabando!!!! Vamos organizar as idéias....

∫ 0 2 x 2 x x 2 + 1 d x   = 4 - 2 a r c t g ( 2 )

Agora, é só voltar lá na nossa primeira integral e substituir esse resultado.

Dessa forma,

∫ 0 2 ln ⁡ x 2 + 1 d x = x ln ⁡ x 2 + 1 0 2 - 4 + 2 a r c t g 2

2 ln ⁡ 5 - 4 + 2 a r c t g ( 2 )

Resposta

2 ln ⁡ 5 - 4 + 2 a r c t g ( 2 )

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