Enunciado

1-38 Calcule a integral.

38. int_0^2 ln ( x^2 + 1 ) d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = ln ( x^2 + 1 ) e d x = d v .

{[[u = ln ( x^2 + 1 ) -> d u = (2 x)/(x^2 + 1) d x],[d x = d v -> v = x]])

Passo 2

Assim, vamos ter que

int_0^2 ln ( x^2 + 1 ) d x = (x ln (x^2 + 1)|_0^2 - int_0^2 x (2 x)/(x^2 + 1) d x

Olha essa integral aí do lado direito. Não dá para resolvê-la por substituição simples. Então, o que a gente vai ter que fazer, é integrar por partes novamente.

Chamando 2 x^2 de u_1 e (1)/(x^2 + 1) d x de d v_1 , vemos que

{[[u_1 = 2 x^2 -> d u_1 = 4 x d x],[(1)/(x^2 + 1) d x = d v_1 -> v_1 = a r c t g ( x )]])

Daí, obtemos

int_0^2 x (2 x)/(x^2 + 1) d x = 2 (x^2 a r c t g (x)|_0^2 - int_0^2 4 x a r c t g (x) d x

2 (x^2 a r c t g (x)|_0^2 - 4 int_0^2 x a r c t g (x) d x

2 (x^2 a r c t g (x)|_0^2 - (4)/(2) ((x^2 a r c t g x - x + a r c t g (x))|_0^2

- 2 ((- x + a r c t g (x))|_0^2 = - 2 (- 2 + a r c t g (2))

4 - 2 a r c t g ( 2 )

Passo 3

Calma, genteee. Já tá acabando!!!! Vamos organizar as idéias....

int_0^2 x (2 x)/(x^2 + 1) d x = 4 - 2 a r c t g ( 2 )

Agora, é só voltar lá na nossa primeira integral e substituir esse resultado.

Dessa forma,

int_0^2 ln (x^2 + 1) d x = (x ln (x^2 + 1)|_0^2 - 4 + 2 a r c t g (2)

2 ln (5) - 4 + 2 a r c t g ( 2 )

Resposta

2 ln (5) - 4 + 2 a r c t g ( 2 )

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Esboce o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f td t onde f t = 1 1 + t 2
Esboce o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f td t onde f t = 0 s et1 1 - t 2 s et ≤ 1
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[t,s,e,,0,=,t,=,1],[(1)/(t),s,e,,t,,1],[0,s,e,,t,,0]])