Enunciado

15.29. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 - y 2 , pelo plano x = 2

Passo 1

Beleza aqui queremos calcular o volume do cilindro, mas só vamos calcular na região do primeiro octante, ou seja, z ≥ 0 , x ≥ 0   e   y ≥ 0 , mas repare que z é uma função de y , para que z ≥ 0 , necessariamente y ≤ 3 .

Para calcular o volume abaixo de uma superfície, só precisamos fazer uma integral dupla, onde esse retângulo são nossos limites, e a superfície é nossa função. Desse jeito

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 9 - y 2 d x d y  

Lembrando que isso é o mesmo que

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 9 - y 2 d x d y  

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

∫ 0 2 9 - y 2 d x

Agora a gente reescrever essa integral como a subtração de duas integrais

∫ 0 2 9 - y 2 d x = ∫ 0 2 9 d x - ∫ 0 2 y 2 d x

Vamos calcular essas integrais

∫ 0 2 9 d x = 9 x 0 2 = 9 2 - 0 = 18

Agora vamos resolver

∫ 0 2 y 2 d x

Como estamos integrando em x , y 2 é uma constante, então

∫ 0 2 y 2 d x = y 2 x 0 2 = y 2 2 - 0 = 2 y 2

Então

∫ 0 2 9 d x - ∫ 0 2 y 2 d x = 18 - 2 y 2

Passo 3

Podemos integrar em y agora

V = ∫ 0 3 18 - 2 y 2 d y

Vamos novamente reescrever como a subtração de duas integrais

∫ 0 3 18 - 2 y 2 d y = ∫ 0 3 18 d y - ∫ 0 3 2 y 2 d y

Vamos começar resolvendo

∫ 0 3 18 d y = 18 y 0 3 = 18 3 - 0 = 54

Agora vamos resolver a outra integral

∫ 0 3 2 y 2 d y

Aqui vamos usar a regra da potência

∫ 0 3 2 y 2 d y = 2 3 [ y 3 ] 0 3 = 2 3 3 3 - 0 3 = 2 3 27 = 18

Então

  ∫ 0 3 18 d y - ∫ 0 3 2 y 2 d y = 54 - 18 = 36

E esse é o volume do nosso cilindro.

Resposta

V = 36

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