Enunciado

∬_R (y + x y^(- 2)) d A , R = { ( x , y ) | 0 <= x <= 2 , 1 <= y <= 2 }

Passo 1

Falaiiiiiiiii, vamo resolver essa integralzinha ai?! Simbora!!

Cara, aqui vamos fazer uma integral dupla, e nosso intervalo é essa região que nos foi dada. Como tanto x quanto y estão limitados apenas pro números, temos uma região retangular, e a integral dupla pode ser escrita dessa forma ó:

int_0^2 int_1^2 (y + x y^(- 2)) d y d x

Vamos lá, lembrando que pra resolver uma integral dupla vamos fixar uma variável como constante e integrar em relação a outra. E são duas integrais, logo vamos fazer isso duas vezes!

Passo 2

Vamos começar com y , ok? Aqui, x age como uma constante. Integrando em y , temos:

int_0^2 int_1^2 (y + x y^(- 2)) d y d x = int_0^2 (((y^2)/(2) + x * (y^(- 1))/(- 1)|_(y = 1)^(y = 2)) d x =

= int_0^2 (((y^2)/(2) - (x)/(y)|_(y = 1)^(y = 2)) d x = int_0^2 (((2^2)/(2) - (x)/(2)) - ((1^2)/(2) - (x)/(1))) d x =

= int_0^2 (((4)/(2) - (x)/(2)) - ((1)/(2) - (x)/(1))) d x = int_0^2 (((4)/(2) - (x)/(2)) - ((1)/(2) - (2 x)/(2))) d x =

= int_0^2 ((4)/(2) - (x)/(2) - (1)/(2) + (2 x)/(2)) d x = int_0^2 ((3)/(2) + (x)/(2)) d x

Passo 3

Show de bola galera, agora faltou só a integração em relação a x ! Mãos a obra:

int_0^2 ((3)/(2) + (x)/(2)) d x = ((3 x)/(2) + (x^2)/(4)|_(x = 0)^(x = 2) = ((3 * 2)/(2) + (2^2)/(4)) - ((3 * 0)/(2) + (0^2)/(4)) =

= (3 + (4)/(4)) - (0 + 0) = (3 + 1) - 0 = 4

Feshow pessoal! Resposta final é:

∬_R (y + x y^(- 2)) d A = 4

R = { ( x , y ) | 0 <= x <= 2 , 1 <= y <= 2 }

Resposta

∬_R (y + x y^(- 2)) d A = 4

R = { ( x , y ) | 0 <= x <= 2 , 1 <= y <= 2 }

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