Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 28
15.28. Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e e pelos planos coordenados.
Passo 1
Beleza aqui queremos calcular o volume que está abaixo da superfície formada por , mas essa região é delimitada por um retângulo que está no plano xy, esse retângulo é o seguinte , são as delimitações que o enunciado dá.
Para calcular o volume abaixo de uma superfície, só precisamos fazer uma integral dupla, onde esse retângulo são nossos limites, e a superfície é nossa função. Desse jeito
Lembrando que isso é o mesmo que
Passo 2
Então a gente pode resolver separadamente, começando por
Lembrando sempre que a integral da soma é a soma das integrais, então vamos reescrever essa integral
Beleza, vamos por partes, começar resolvendo a primeira integral
Essa foi rápida.
Agora vamos para próxima
Como a gente só está integrando em , é uma constante, então podemos tirar da integral
Beleza, só falta uma agora
Vamos começar tirando a constante da integral
Agora vamos usar a regra da potência
Aplicando os limites
Substituindo os resultados que achamos
Passo 3
Podemos integrar em agora
Olha só, temos outra integral de uma soma, vamos usar a mesma propriedade, a integral da soma é a soma das integrais.
Vamos integral por integral de novo
Agora vamos para a segunda integral, talvez essa seja a mais complicada que vamos fazer
Vamos começar colocando a constante para fora da integral
Agora vamos fazer a substituição
Então
Usando a regra da potência
Voltando da substituição
Agora só aplicar os limites
Agora só falta a última integral
É uma constante também, então
Agora é só substituir os resultados
Então finalmente achamos o nosso volume