Enunciado

15.28. Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico z = 1 + x - 1 2 + 4 y 2 , pelos planos x = 3 e y = 2 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza aqui queremos calcular o volume que está abaixo da superfície formada por z = 1 + x - 1 2 + 4 y 2 , mas essa região é delimitada por um retângulo que está no plano xy, esse retângulo é o seguinte R = 0,3 × 0,2 , são as delimitações que o enunciado dá.

Para calcular o volume abaixo de uma superfície, só precisamos fazer uma integral dupla, onde esse retângulo são nossos limites, e a superfície é nossa função. Desse jeito

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 [ 1 + x - 1 2 + 4 y 2 ] d y d x  

Lembrando que isso é o mesmo que

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 [ 1   + x - 1 2 + 4 y 2 ] d y d x  

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

∫ 0 2 [ 1   + x - 1 2 + 4 y 2 ] d y

Lembrando sempre que a integral da soma é a soma das integrais, então vamos reescrever essa integral

∫ 0 2 [ 1   + x - 1 2 + 4 y 2 ] d y = ∫ 0 2 1 d y + ∫ 0 2 x - 1 2 d y + ∫ 0 2 4 y 2 d y

Beleza, vamos por partes, começar resolvendo a primeira integral

∫ 0 2 1 d y = y 0 2 = 2 - 0 = 2

Essa foi rápida.

Agora vamos para próxima

∫ 0 2 x - 1 2 d y

Como a gente só está integrando em y , x - 1 2 é uma constante, então podemos tirar da integral

x - 1 2 ∫ 0 2 d y = x - 1 2 y 0 2 = x - 1 2 2 - 0 = 2 x - 1 2

Beleza, só falta uma agora

∫ 0 2 4 y 2 d y

Vamos começar tirando a constante da integral

4 ∫ 0 2 y 2 d y

Agora vamos usar a regra da potência

4 ∫ 0 2 y 2 d y = 4 ⋅ 1 3 ⋅ y 3 0 2

Aplicando os limites

4 3 2 3 - 0 3 = 32 3

Substituindo os resultados que achamos

∫ 0 2 1 d y + ∫ 0 2 x - 1 2 d y + ∫ 0 2 4 y 2 d y = 2 + 2 x - 1 2 + 32 3

Passo 3

Podemos integrar em x agora

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 [ 1   + x - 1 2 + 4 y 2 ] d y d x  

V = ∫ 0 3 2 + 2 x - 1 2 + 32 3 d x  

Olha só, temos outra integral de uma soma, vamos usar a mesma propriedade, a integral da soma é a soma das integrais.

∫ 0 3 2 + 2 x - 1 2 + 32 3 d x = ∫ 0 3 2 d x + ∫ 0 3 2 x - 1 2 d x +   ∫ 0 3 32 3 d x  

Vamos integral por integral de novo

∫ 0 3 2 d x = 2   x 0 3 = 2 3 - 0 = 6

Agora vamos para a segunda integral, talvez essa seja a mais complicada que vamos fazer

∫ 0 3 2 x - 1 2 d x

Vamos começar colocando a constante para fora da integral

2 ∫ 0 3 x - 1 2 d x

Agora vamos fazer a substituição

u = x - 1 d u = d x

Então

2 ∫ u 2 d u

Usando a regra da potência

2 ∫ u 2 d u = 2 ⋅ 1 3 ⋅ u 3

Voltando da substituição

2 ⋅ 1 3 ⋅ x - 1 3

Agora só aplicar os limites

2 3 x - 1 3 0 3 = 2 3 3 - 1 3 - 0 - 1 3

= 2 3 8 + 1 = 18 3 = 6

Agora só falta a última integral

∫ 0 3 32 3 d x

É uma constante também, então

∫ 0 3 32 3 d x = 32 3 [ x ] 0 3 = 32 3 3 - 0 = 32

Agora é só substituir os resultados

∫ 0 3 2 d x + ∫ 0 3 2 x - 1 2 d x +   ∫ 0 3 32 3 d x = 6 + 6 +   32 = 44

Então finalmente achamos o nosso volume

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 [ 1 + x - 1 2 + 4 y 2 ] d y d x = 44  

Resposta

V = 44

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