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17. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial

x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = g t ,                       x > 0

Sugestão: Verifique se x , x 2 e x 3 são soluções da equação homogênea.

Passo 1

Fala Galera!!

Foi-nos dados a seguinte a equação diferencial:

x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = g t

O objetivo é encontrar a fórmula da equação diferencial dada e usar as soluções  x , x 2 e x 3 .

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos começar provando que  x , x 2 e x 3 são soluções da equação diferencial dada.

Para y = x , temos

y = x

y ' = 1

y ' ' = 0

y ' ' ' = 0

Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:

x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = 0

x 3 0 - 3 x 2 0 + 6 x 1 - 6 x = 0

6 x - 6 x = 0

0 = 0

Portanto, y = x é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.

Passo 3

Para y = x 2 , temos

y = x 2

y ' = 2 x

y ' ' = 2

y ' ' ' = 0

Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:

x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = 0

x 3 0 - 3 x 2 2 + 6 x 2 x - 6 x 2 = 0

- 6 x 2 + 12 x 2 - 6 x 2 = 0

0 = 0

Portanto, y = x 2 é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.

Passo 4

Para y = x 3 , temos

y = x 3

y ' = 3 x 2

y ' ' = 6 x

y ' ' ' = 6

Substituindo os termos encontrados na homogenia associada à equação diferencial dada, temos:

x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = 0

x 3 6 - 3 x 2 6 x + 6 x 3 x 2 - 6 x 3 = 0

6 x 3 - 18 x 3 + 18 x 3 - 6 x 3 = 0

0 = 0

Portanto, y = x 3 é uma solução da homogenia associada à equação diferencial.

Temos então que   x , x 2 e x 3 são as soluções da equação diferencial homogênea dada.

Passo 5

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W s = W y 1 , y 2 , … , y n s vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m s é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0 , … , 0,1 )

Passo 6

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W x , x 2 , x 3 = x x 2 x 3 x ' x 2 ' x 3 ' x ' ' x 2 ' ' x 3 ' '

= x x 2 x 3 1 2 x 3 x 2 0 2 6 x = 12 x 3 + 2 x 3 - 6 x 3 - 6 x 3 = 2 x 3

Assim, as soluções  x , x 2 , x 3 formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 7

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 x 2 x 3 0 2 x 3 x 2 1 2 6 x = 3 x 4 - 2 x 4 = x 4

Passo 8

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = x 0 x 3 1 0 3 x 2 0 1 6 x = x 3 - 3 x 3 = - 2 x 3

Passo 9

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 3 t = x x 2 0 1 2 x 0 0 2 1 2 x 2 - x 2 = x 2

Passo 10

Agora, vamos encontrar a solução partícula da equação diferencial fornecida. A solução particular da equação diferencial homogênea usando a variação do parâmetro é a seguinte:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s a s W s d s

Y P t = x ∫ t 0 t g s s 4 s 3 ⋅ 2 s 3 d s + x 2 ∫ t 0 t g s - 2 s 3 s 3 ⋅ 2 s 3 d s + x 3 ∫ t 0 t g s s 2 s 3 ⋅ 2 s 3 d s

Y P t = x ∫ t 0 t s - 2 g s 2 d s + x 2 ∫ t 0 t - s - 3 g s d s + x 3 ∫ t 0 t s - 4 g s 2 d s

Y P t = ∫ t 0 t x s - 2 g s 2 d s + ∫ t 0 t - x 2 s - 3 g s d s + ∫ t 0 t x 3 s - 4 g s 2 d s

Y P t = ∫ t 0 t x s - 2 2 - x 2 s - 3 + x 3 s - 4 2 g s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t x s - 2 - 2 x 2 s - 3 + x 3 s - 4 g s d s

Passo 11

Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é:

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t x s - 2 - 2 x 2 s - 3 + x 3 s - 4 g s d s

Resposta

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t x s - 2 - 2 x 2 s - 3 + x 3 s - 4 g s d s

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