Enunciado

Calcule a integral tripla.

11.

int int int_E 2 x d V

E = {(x , y , z)| 0 <= y <= 2 , 0 <= x <= sqrt(4 - y^2) , 0 <= z <= y }

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int int int_E 2 x d V

Sob a região:

E = {(x , y , z)| 0 <= y <= 2 , 0 <= x <= sqrt(4 - y^2) , 0 <= z <= y }

Uma dica é deixar a variável em que os limites de integração são só número (e não outras funções) mais externa, então vamos ficar com:

int_0^2 int_0^y int_0^(sqrt(4 - y^2)) 2 x d x d z d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

= int_0^2 int_0^y [x^2]_0^(sqrt(4 - y^2)) d z d y

= int_0^2 int_0^y ((sqrt(4 - y^2))^2 - 0) d z d y

= int_0^2 int_0^y (4 - y^2) d z d y

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de z :

= int_0^2 [z (4 - y^2)]_0^y d y

= int_0^2 (y (4 - y^2) - 0 (4 - y^2)) d y

= int_0^2 (y (4 - y^2)) d y

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de y :

Mas vamos dar uma arrumadinha...

= int_0^2 (4 y - y^3) d y

Aí sim:

= [2 y^2 - (y^4)/(4)]_0^2

= (2 (2)^2 - ((2)^4)/(4))

= 4

Ufaaa... deu trabalho, mas acabamos. Desanima não e vamos pra próxima. =)

Resposta

int int int_E 2 x d V = 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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