Enunciado

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3

Passo 1

Para testarmos se a série é convergente ou divergente, vamos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:

f n = n 2 n + 3

f ' n = 1 2 n - 1 2 . 2 n + 3 - 2 n ( 2 n + 3 ) ² = 3 - 2 n 2 n ( 2 x + 3 ) ² < 0   p a r a   n > 3 2

De fato a sequência é decrescente para n > 3 2 , uma vez que o denominador sempre resultará em um valor positivo. Agora testando a segunda condição:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 3

Dividindo tudo por n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n n 2 2 n n + 3 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 + 3 n = 0

Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3

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