Enunciado

23. O problema de valor inicial que descreve o movimento de um pêndulo simples com velocidade inicial e ângulo inicial θ 0 > 0 é:

d 2 θ d t 2 + g l s e n   θ = 0

θ 0 = θ 0 ,   d θ d t t = 0 = 0

a) Obtenha a equação de primeira ordem:

d θ d t 2 = 2 g l cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0

(Sugestão: multiplique a equação dada por 2 d θ d t .)

b) Use a equação da parte a) para mostrar que o período de movimento é:

T = 2 2 l g ∫ 0 θ 0 d θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0

Passo 1

a) Então pessoal, aqui a questão quer que cheguemos na equação diferencial:

d θ d t 2 = 2 g l cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0

Para isso vamos utilizar a equação que nos foi dada, que é:

d 2 θ d t 2 + g l s e n   θ = 0

Multiplicando a equação por 2 d θ d t , teremos:

2 d 2 θ d t 2 d θ d t = - 2 g l s e n   θ d θ d t

2 d 2 θ d t 2 d θ d t d t = - 2 g l s e n   θ d θ

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Passo 2

O enunciado nos dá as seguintes condições iniciais:

θ 0 = θ 0 ,   d θ d t t = 0 = 0

Aplicando, teremos:

d θ d t 2 = 2 g l cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0

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Passo 3

b) Agora temos que utilizar a expressão que achamos para determinar uma expressão para o período do pêndulo. Separando as variáveis e integrando, teremos:

l 2 g . 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 d θ = d t

∫ l 2 g . 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 d θ = ∫ d t

Agora vale prestarmos atenção em uma coisa. Para a integral da esquerda temos o seguinte intervalo: θ 0 ,   0 , enquanto na integral da direita temos o seguinte intervalo: 0 , T 4 , que é o período de um pêndulo. Fazendo isso, teremos:

∫ θ 0 0 l 2 g . 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 d θ = ∫ 0 T 4 d t

Que nos dá como resultado:

T 4 = ∫ θ 0 0 l 2 g . 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 d θ

∴ T = ∫ θ 0 0 2 l g . 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 d θ

Que é exatamente a expressão que queríamos chegar! 😉

Resposta

a) Demonstração.

b) Demonstração.

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