Enunciado

No exemplo 7 da seção 1.2, vimos que a equação diferencial que descreve a forma de um fio de densidade linear constante w suspenso sob a ação do próprio peso é:

d 2 y d x 2 = w T 1 1 + d y d x 2

Em que T 1 é a tensão horizontal no fio em seu ponto mais baixo. Usando a substituição p = d y d x , resolva essa equação sujeita à condição inicial y 0 = 1 , y ' 0 = 0 .

Passo 1

Aqui o que temos que fazer é, simplesmente, resolver a equação diferencial dada, pessoal. A equação é:

d 2 y d x 2 = w T 1 1 + d y d x 2

Fazendo a substituição p = d y d x , teremos:

d p d x = w T 1 1 + p ²

Como w T 1 é constante, então vamos chamar de k , beleza? Então teremos:

d p d x = k 1 + p 2

d p 1 + p 2 = k d x

Ok, simplificamos tudo! Sendo assim, só falta integrar isso aí e resolver, então vamo que vamo!

Passo 2

Integrando ambos os lados, teremos:

∫ d p 1 + p 2 = k ∫ d x

O bom é que para a integral do lado esquerdo temos um resultado tabelado e já conhecido, que é:

∫ d p 1 + p 2 = ln ⁡ p + 1 + p 2 + c 1

E a integral do lado direito é bem tranquila, saca só:

k ∫ d x = k x + c 2

Unindo os resultados:

ln ⁡ p + 1 + p 2 + c 1 = k x + c 2

ln ⁡ p + 1 + p 2 = k x + c

Simplificando:

p + 1 + p 2 = c e k x

Show!

Passo 3

Agora que resolvemos nossa equação diferencial vamos aplicar a condição inicial p 0 = 0 , saca só:

0 + 1 = c e 0

c = 1

Substituindo:

p + 1 + p 2 = e k x

Se simplificarmos isso, teremos:

p = s e n h   k x

Voltando para y , teremos:

d y d x = s e n h   k x

O que nos dá:

y = 1 k . cosh ⁡ k x + c

Aplicando a condição y 0 = 1 , obteremos:

1 = 1 k + c

∴ c = 1 - 1 k

Substituindo, teremos:

y = 1 k . cosh ⁡ k x + 1 - 1 k

Como k = w T 1 , então nosso resultado será:

y x = T 1 w . cosh ⁡ w T 1 x + 1 - T 1 w

Resposta

y x = T 1 w . cosh ⁡ w T 1 x + 1 - T 1 w

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