Enunciado

23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.

(a) cosh - 1 ⁡ x

(b) tgh - 1 ⁡ x

(c) cossech - 1 ⁡ x

(d) sech - 1 ⁡ x

(e) cotgh - 1 ⁡ x

Passo 1

(a)

Sendo y = tg h - 1 ⁡ x , então

x = tg h ⁡ y

Nós queremos a derivada de y então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:

d d x x = d d x tg h ⁡ y

A derivada da tangente hiperbólica é a secante hiperbólica ao quadrado:

1 = sech 2 ⁡ y ⋅ d y d x

Isolando a derivada de y :

d y d x = 1 sech 2 ⁡ y

Podemos usar essa relação:

se c h 2 ⁡ y = 1 - tg h 2 ⁡ y

Então:

d y d x = 1 1 - tgh 2 ⁡ y

Como no começo definimos que x = tgh ⁡ y

podemos reescrever a equaçõ como sendo:

d y d x = 1 1 - x 2

Como y = tgh - 1 ⁡ x , nós descobrimos que:

d d x tg h - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Resposta

d d x tgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

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