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26. Resolva a equação de segunda ordem x y ' ' + 2 y ' = 12 x 2 por meio da substituição u = y ' .

Passo 1

Fazendo u = y ' , temos que u ' = y ' ' . E temos que a EDO passa a ter a seguinte forma x u ' + 2 u = 12 x 2 .

Passo 2

Dividindo tudo por x , temos u ' + 2 x u = 12 x . Então a EDO modificada é linear com P x = 2 x e Q x = 12 x .

Passo 3

O fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja, I x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x = x 2 .

Passo 4

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução u ( x ) é dada por por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = x 2 e Q x = 12 x .

Passo 5

Então precisamos calcular ∫ x 2 ⋅ 12 x d x = 12 ∫ x 3 d x = 12 x 3 + 1 3 + 1 = 3 x 4 . E então temos u x = 1 x 2 3 x 4 + C = x - 2 3 x 4 + C = 3 x 2 + C x - 2 .

Passo 6

Observe que u = y ' , isto é, y = ∫ u d x , então, y x = ∫ 3 x 2 + C x - 2 d x = 3 ∫ x 2 d x + C ∫ x - 2 d x = 3 x 2 + 1 2 + 1 + C x - 2 + 1 - 2 + 1 = x 3 - C x - 1 . Vamos observar que se C é uma constante, então - C ainda é uma constante. E nossa solução é y x = x 3 + C x - 1 .

Resposta

y x = x 3 + C x - 1

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