44. Calcule a integral

∫ sin ⁡ x sec 5 ⁡ x   d x  

Passo 1

Show de bicicletinhas galera, primeiro de tudo, podemos pegar aquele sec 5 ⁡ x e chamarmos de:

sec 5 ⁡ x = 1 cos 5 ⁡ x

Logo:

∫ sin ⁡ x sec 5 ⁡ x   d x = ∫ sin ⁡ x 1 cos 5 ⁡ x   d x = ∫ sin ⁡ x cos 5 ⁡ x   d x

Podemos também, chamar sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x , então:

∫ sin ⁡ x cos 5 ⁡ x   d x = ∫ tan ⁡ x cos 4 ⁡ x   d x = ∫ tan ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x

Show de bolinhas, ta começando a ficar bonito

Passo 2

Show de bolinhas, ta começando a ficar bonito, agora pra resolver essa integral, podemos usar da técnica de substituição simples, chamanda sec ⁡ x = u , temos:

sec ⁡ x = u

d u = sec ⁡ x tan ⁡ x   d x ⇒ d x = d u sec ⁡ x tan ⁡ x

E levando para integral chegamos em:

∫ tan ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x = ∫ tan ⁡ x u 4 d u sec ⁡ x tan ⁡ x   = ∫ u 3 d u

∫ u 3 d u = 1 4 u 4 + C

Portanto, voltando para variável inicial, chegamos em

∫ sin ⁡ x sec 5 ⁡ x   d x = 1 4 sec 4 ⁡ x + C

Resposta

∫ sin ⁡ x sec 5 ⁡ x   d x = 1 4 sec 4 ⁡ x + C

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