2.Calcule:

∫ 0 1 3 2 x + 1 d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!

Questão de substituição simples e substituiremos u   por 2 x + 1 , mudaremos tudo que tem x para u , olho no lance!

u = 2 x + 1

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

u ' = 2 x + 1 '

d u = 2 d x

Isolando d x , temos :

d x = d u 2

Passo 2

Agora que temos tudo em função de   u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

d x = d u 2

u = 2 x + 1

∫ 3 2 x + 1 d x   = ∫ 3 u d u 2 = ∫ 3 2 d u u

Sendo 3 2 constante, o colocaremos para fora e calcularemos a primitiva :

∫ 3 2 x + 1 d x = 3 2 ∫ u - 1 d u

∫ 3 2 x + 1 d x = 3 2 ln ⁡ u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral! ( u = 2 x + 1 ), temos:

∫ 3 2 x + 1 d x = 3 2 ln ⁡ | 2 x + 1 | + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida. Atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 1 3 2 x + 1 d x =   3 2   ( ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 )   =   3 2 ( ln ⁡ 3 - 0 )

∫ 0 1 3 2 x + 1 d x =   3 2 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 0 1 3 2 x + 1 d x =   3 2 ln ⁡ 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados