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32- Considere o polinômio

P x = A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3

Onde A0, A1, A2, A3 e x0 são números reais fixos. Mostre que

P x = P x o +   P ' x o x - x o + P " ( x o ) 2 !     x - x o 2 + P ' ' ' ( x o ) 3 !     x - x o 3 .

Passo 1

Seja   P x = A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.

P ' x = A1 + 2A2 (x – x0) + 3A3 (x - x0) 2

Logo,   P ' x o = A 1

P ' ' x = 2A2 + 6A3 (x - x0)

Logo, P " ( x o ) = 2 A 2. E, com isso,   A 2 = P " ( x o ) 2

P ' ' ' x = 6A3

Logo,   P ' ' ' x o = 6 A 3. Portanto, A3 = P ' ' ' ( x o ) 6

Passo 2

Substituindo A1, A2 e A3 na equação dada no enunciado, teremos:

P x = P x o +   P ' x o x - x o + P " ( x o ) 2     x - x o 2 + P ' ' ' ( x o ) 6     x - x o 3 =

= P x o +   P ' x o x - x o + P " ( x o ) 2 !     x - x o 2 + P ' ' ' ( x o ) 3 !     x - x o 3

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