Enunciado

32) Sejam f x = x - 1 2 , g x = e - 2 x e h x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 x .

(a) Determine as linearizações para f , g e h em a = 0 . O que você observa? Como explicar o que aconteceu?

(b) Faça os gráficos de f , g e h e de suas aproximações lineares. Para qual função a aproximação é melhor? Para qual é pior? Justifique.

Passo 1

Item a:

Para obter a linearização L ( x ) uma função y x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = y a + y ' ( a ) ( x - a )

Para isso vamos obter as derivadas:

f ' x = 2 x - 1

g x = - 2 e - 2 x

h x = - 2 1 - 2 x

Passo 2

Agora, vamos obter as linearizações das funções em a = 0 por meio da fórmula:

L x = y a + y ' ( a ) ( x - a )

Para   f x = x - 1 2 :

L x = 0 - 1 2 + 2 0 - 1 ( x - 0 )

L x = 1 - 2 x

Para g x = e - 2 x :

L x = e - 2 0 - 2 e - 2 0 x - 0

L x = 1 - 2 x

Para h x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 x :

L x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 0 + - 2 1 - 2 ( 0 ) ( x - 0 )

L x = 1 - 2 x

Podemos ver que a linearização para as três funções em a = 0 é a mesma. Isso ocorre, pois quando x = 0 as três funções tem a mesma inclinação, ou seja, a mesma reta tangente.

Passo 3

Item b:

Plotando as funções no gráfico temos:

Resposta

A linearização para as três funções em a = 0 é a mesma. Isso ocorre, pois quando x = 0 as três funções tem a mesma inclinação, ou seja, a mesma reta tangente:   L x = 1 - 2 x .

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