Enunciado

33- Uma piscina circular tem 40 pés de diâmetro. Sua profundidade é constante na direção leste-oeste e aumenta linearmente de 2   p é s no término sul para 7   p é s no término norte. Determine o volume da água da piscina.

Passo 1

O principal erro dessa questão é achar que a piscina descrita no enunciado é puramente um cilindro o que não é verdade a melhor forma de representar essa piscina é com o que seguinte corte no cilindro abaixo.

Imagine que estaremos passando um plano linear e estaremos interessados somente na parte de cima do cilindro, esse é o formato da piscina. Porém imagina que no círculo que tem raio de 20 imagine que a piscina terá profundidade de 2 em x = - 20 e profundidade de 7 quando x = 7 . Matematicamente temos:

f 0 , - 2 0 = 2

f 0 , 2 0 = 7

Isso se considerarmos y como eixo norte e sul. E a profundidade z como positivo (sentido oposto ao desenhado.

Passo 2

Vamos começar pela equação do cilindro todo, sabendo que seu raio é de 20 temos que a equação será:

x 2 + y 2 ≤ 400

Agora vamos para a equação desse plano que corta o cilindro nos pontos que escrevemos no passo 1, sendo:

z - z 0 = f x x - x 0 + f y y - y 0

Como em x a profundidade não varia então f x = 0 , agora a variação em y pode ser calculada como:

f y = Δ z Δ y = 7 - 2 20 - ( - 20 ) = 1 8  

Pois y vai do negativo até o positivo. Sendo assim a equação do plano cortante.

z - 7 = 1 8 y - 20 → z = 1 8 y + 9 2

Só utilizamos o ponto ( 0 , 20,7 ) e a direção f y .

Passo 3

Agora o volume será calculando a área transversal pela altura ou seja:

V = ∫ ∫ D z   d A

Onde a região D é a área transversal que é o círculo de raio igual a 20 , por isso é legal utilizar coordenadas polares o que nos deixa com o intervalo de θ e r iguais a:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 20

Logo a integral dupla fica:

V = ∫ 0 20 ∫ 0 2 π r 1 8 r sin ⁡ θ + 9 2 d θ   d r

Ou seja:

V = ∫ 0 20 ∫ 0 2 π 1 8 r 2 sin ⁡ θ + 9 2 r d θ   d r

Fazendo as integrais temos:

V = 1 8 r 3 3 0 20 - cos ⁡ θ 0 2 π + 9 2 r 2 2 0 20 θ 0 2 π

V = 1 8 20 3 3 - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 0 + 9 2 20 2 2 2 π

V = 0 + 20 2 × 9 π 2 = 1800 π = 5654.57   p é s 3

Resposta

V = 1800 π   p é s 3

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Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região interior a ambos os círculos r = s e nθ e r = cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .