Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 33
33- Uma piscina circular tem 40 pés de diâmetro. Sua profundidade é constante na direção leste-oeste e aumenta linearmente de no término sul para no término norte. Determine o volume da água da piscina.
Passo 1
O principal erro dessa questão é achar que a piscina descrita no enunciado é puramente um cilindro o que não é verdade a melhor forma de representar essa piscina é com o que seguinte corte no cilindro abaixo.
Imagine que estaremos passando um plano linear e estaremos interessados somente na parte de cima do cilindro, esse é o formato da piscina. Porém imagina que no círculo que tem raio de imagine que a piscina terá profundidade de em e profundidade de quando . Matematicamente temos:
Isso se considerarmos como eixo norte e sul. E a profundidade como positivo (sentido oposto ao desenhado.
Passo 2
Vamos começar pela equação do cilindro todo, sabendo que seu raio é de temos que a equação será:
Agora vamos para a equação desse plano que corta o cilindro nos pontos que escrevemos no passo 1, sendo:
Como em a profundidade não varia então , agora a variação em pode ser calculada como:
Pois vai do negativo até o positivo. Sendo assim a equação do plano cortante.
Só utilizamos o ponto e a direção .
Passo 3
Agora o volume será calculando a área transversal pela altura ou seja:
Onde a região é a área transversal que é o círculo de raio igual a , por isso é legal utilizar coordenadas polares o que nos deixa com o intervalo de e iguais a:
Logo a integral dupla fica:
Ou seja:
Fazendo as integrais temos: