Enunciado

34.Use o teorema 5.5 . 6 para determinar se o valor da integral é positivo ou negativo

a) ∫ - 3 - 1 x 4 3 - x d x

b) ∫ - 2 2 x 3 - 9 x + 1 d x

Passo 1

Vamos lá, a ideia dessa questão é que para sabermos o sinal da integral, precisamos olhar para o sinal da função nos intervalos de integração!!

Passo 2

Se você não entendeu muito bem, o que quero dizer é o seguinte! Se você quer saber o sinal da integral a baixo:

∫ - 3 - 1 x 4 3 - x d x

Você vai precisar saber o sinal da função abaixo:

f x = x 4 3 - x

No intervalo [ - 3 , - 1 ] .

Então precisamos analisar o sinal de y = x 4 no intervalo [ - 3 , - 1 ] . E analisar o sinal de y = 3 - x no intervalo [ - 3 , - 1 ] .

Vamos por parte, começaremos com essa aqui y = y = x 4

Essa função é positiva para qualquer valor real, então é positiva no intervalo [ - 3 , - 1 ] .

Então só precisamos analisar a função y = 3 - x no intervalo [ - 3 , - 1 ] , só que se você reparar bem, essa função é positiva para qualquer valor menor que 3 , então é positiva no intervalo [ - 3 , - 1 ] .

Como as duas funções são positiva, nos permite afirmar que a integral abaixo também é positiva. ∫ - 3 - 1 x 4 3 - x d x > 0

Passo 3

Deixei para o passo 3, a questão da letra b). Vamos pensar da mesma forma.

∫ - 2 2 x 3 - 9 x + 1 d x

Você vai precisar saber o sinal da função abaixo:

f x = x 3 - 9 x + 1

No intervalo [ - 2 , 2 ] .

Então precisamos analisar o sinal de y = x + 1 no intervalo - 2,2 e analisar o sinal de y = x 3 - 9 no intervalo [ - 2,2 ]

Vamos por parte, começaremos com essa aqui y = x + 1 .

Essa função é positiva para qualquer real então é positiva no intervalo [ - 2,2 ] .

Então só precisamos analisar a função y = x 3 - 9 no intervalo - 2,2 ,   vamos desenhar o gráfico dessa função nesse intervalo!

Essa função é negativa no intervalo de [ - 2,2 ] , então a função f x = x 3 - 9 é negativa no intervalo [ - 2,2 ] , o que nos permite afirmar que a integral abaixo também é negativa.

∫ - 2 2 x 3 - 9 x + 1 d x < 0

Resposta

  1. Positiva
  2. Negativa
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