Enunciado

37-38 Calcule as integrais completando o quadrado e aplicando as fórmulas apropriadas de geometria.

38. ∫ 0 3 6 x - x 2 d x

Passo 1

A primeira coisa que iremos fazer é olharmos para a expressão dentro da integral, que é essa aqui:

6 x - x 2

E vamos lembrar desse produto notável um pouco modificado aqui:

- a - b 2 = - a 2 - 2 a b + b 2 = - a 2 + 2 a b - b 2

Passo 2

Retomando dessa expressão temos que:

- a 2 = - x 2

Então:

a = x

E que

2 a b = 6 x

Só que a = x :

2 x b = 6 x

Então b = 3 , precisamos somar então 9   e - 9 dentro da expressão:

6 x - x 2 = - 9 + 6 x - x 2 + 9

Então ajeitando a expressão de dentro temos que:

6 x - x 2 = - x - 3 2 + 9

Voltando para a integral, ela fica assim:

∫ 0 3 6 x - x 2 d x = ∫ 0 3 - x - 3 2 + 9 d x

Passo 3

Paramos nessa expressão da integral

∫ 0 3 - x - 3 2 + 9 d x

Essa função y = - x - 3 2 + 9 é uma parte de uma circunferência de centro ( 3 , 0 ) e raio igual a 3 .

O gráfico é assim:

Essa figura é metade de uma circunferência de raio 3 , então a sua área é dada por A = π r 2 2 ,Então:

A = π 3 2 2 = 9 π 2

Já que a integral é numericamente igual a área, podemos afirmar que

∫ 0 3 6 x - x 2 d x = 9 π 2

Resposta

∫ 0 3 6 x - x 2 d x = 9 π 2

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