Enunciado

Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.

y = x 3 + 4 x 2

Passo 1

O primeiro passo (A )é determinar o domino da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como para x = 0 , a função não esta bem definida (estaríamos dividindo por zero ) , então

D f = - ∞ ,   0 ∪ 0 ,   ∞

Passo 2

O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.

- Com o eixo x

f x = 0   ⇔ x 3 + 4     = 0   ⇒ x = -   4 3

Não intercepta o eixo y

Passo 3

O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para   x =   1 , temos que f 1 = 5 e f - 1 = 3   .  

Logo, nossa função é sem simetria

Passo 4

O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.

Como x = 0 ∉ D f , façamos lim x → 0 ⁡ f x = ∞

Sendo assim, x = 0 , é assintota vertical.

Agora, precisamos achar a assíntota obliqua. Como,

y = x 3 + 4 x 2 = x + 4 / 2    

(você pode confirmar isso fazendo a divisão do polinômio do numerados pelo o do denominador e lembrando que d i v i d e n d o = d i v i s o r ⋅ q u o c i e n t e + r e s t o , substituir a cancelar as contas )

Daí,

lim x → ± ∞ ⁡ [ f x - x ] =   l i m x → ± ∞   4 x 2 =  

Então a reta   y = x é assíntota obliqua

Passo 5

Vamos para o passo E. Ou seja, achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente além de nossos candidatos a máximo e mínimo.

Para isso, façamos

f ' x = 1 - 8 x 3 = x 3 - 8 x 3

Perceba f ' x < 0   ,   s e   x < 0   o u     x > 2   . Então f é crescente em ( - ∞ ,   0   ) e ( 2 , ∞ ) e decrescente em ( 0,2 ) .

(você pode testar isso atribuindo valores para x )

Passo 6

No passo F, devemos usar o teste da primeira derivada. Ou seja, achar os máximos e mínimos, se eles existirem.

Como f sai de crescente em crescente em x = 2 , o ponto de mínimo local é

f 2 = 3

Não há máximo local.

Passo 7

Vamos ao penúltimo passo, o G. Aqui devemos analisar a concavidade da função, para isso façamos

f ' ' x = 24 x 4

Temos que

f ' ' > 0 se x ≠ 0   , então f é côncava para cima em ∞ ,   0 e ( 0 ,   ∞ )

(você pode testar isso atribuindo valores para x )

Passo 8

Aqui vamos juntar todos os passos, ou seja, vamos desenhar o gráfico.

Resposta

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