Enunciado

51- No sistema de navegação LORAN (LOng RAnge Navigation), duas estações de rádio localizadas em A e B transmitem simultaneamente sinais para um barco ou um avião localizado em P . O computador de bordo converte a diferença de tempo na recepção desses sinais em diferença de distância P A - | P B | e isso, de acordo com a definição de uma hipérbole, localiza o navio ou avião em um ramo da hipérbole (veja a figura). Suponha que a estação B esteja localizada 400   m i l h a s a leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal de B 1200 microssegundos ( μ s ) antes de receber o sinal de A .

  1. Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de 980   p é s / μ s , encontre uma equação da hipérbole na qual o navio esteja.
  2. Se o navio for esperado ao norte de B , a que distância da costa estará o navio?

Passo 1

Vamos facilitar a nossa vida e considerar que o centro está na origem da equação dessa hipérbole e que ela está no ponto médio da reta indo de A para B ou seja.

A = ( - 200,0 )

B = ( 200,0 )

O que nos dá um valor de c igual a 200

Então pela definição de hipérbole temos:

P A - P B = 2 a

Onde a distância P A - | P B | é a distância relativa dada pela diferença de tempo de um sinal para o outro ou seja:

Δ s = P A - P B = v Δ t = 1200 μ s × 980 p é s μ s = 1.176 × 10 6   p é s

O sinal aqui não importa, o que importa é a distância relativa.

A conversão pés para milhas é dada por:

Logo:

P A - P B = 1.176 × 10 6 5280 = 222.73  

Logo:

2 a = 222.73

a = 111.36

Passo 2

Com os valores de a e de c temos o valor de b :

c 2 = a 2 + b 2

200 2 = 111.36 2 + b 2 → b = 166.13

Pela hipérbole estar com os focos em uma reta horizontal teremos então a seguinte equação para ela:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x 2 111.36 2 - y 2 166.13 2 = 1

Logo a resposta da letra a será:

x 2 12401.05 - y 2 27599.18 = 1

Passo 3

Quando se diz que o navio estará a norte de B quer dizer o navio estará na mesma posição x do radar em A porém não sabemos a posição em y que dita o norte tal como no desenho abaixo.

Logo x = 200 então:

200 2 12401.05 - y 2 27599.18 = 1

200 2 12401.05 - 1 = y 2 27599.18

y = 27599.18 × 200 2 12401.05 - 1 = 247.84   m i l h a s

Resposta

a )   x 2 12401.05 - y 2 27599.18 = 1

b ) 247 .   84   m i l h a s

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