Enunciado

56. Suponha que o nível de decibéis de um eco é 2/3 do nível de decibéis do som srcinal. Se cada eco resulta em outro eco, quantos ecos serão ouvidos a partir de um som de 120 dB, dado que o ouvido humano médio pode ouvir até no mínimo 10 dB?

Passo 1

Belezinha galera, temos que o nivel inicial de decibéis é de 120   d B , e a cada eco ele diminui a o nível em 2 / 3 , ou seja, no primeiro eco, temos:

E 1 = 120 2 3

Para o segundo eco, temos:

E 2 = 2 3 E 1

E 2 = 120 2 3 2 3 = 120 2 3 2

Para o terceiro eco, temos:

E 3 = 2 3 E 2 = 120 2 3 3

Ou seja, para o enésimo eco, teremos que

E n = 120 2 3 n

Passo 2

Então se queremos levar ele até um nivel de 10   d B , onde o ouvido humano não escuta mais, vamos ter que:

120 2 3 n = 10

2 3 n = 1 12

E aplicando a função inversa da exponencial, dada pelo logaritmo, temos:

log 2 / 3 ⁡ 1 / 12 = n

Trocando a base do nosso logaritmo para a base natural, temos que:

log 2 / 3 ⁡ 1 / 12 = ln ⁡ 1 12 ln ⁡ 2 3

Chamando 1 / 12 de 12 - 1 e aplicando a propriedade do exponencial dentro do logaritmo, temos que:

ln ⁡ 1 12 ln ⁡ 2 3 = - ln ⁡ 12 ln ⁡ 2 3

E por fim, aplicando a propriedade da subtração de logaritmos, no denominador, temos o seguinte:

- ln ⁡ 12 ln ⁡ 2 3 = - ln ⁡ 12 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

Logo:

n = - ln ⁡ 12 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

n ≈ 6,13

Ou seja, serão ouvidos mais 6 ecos após a primeira emissão de som.

Resposta

Serão ouvidos mais 6 ecos.

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