Enunciado

7-8. Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolhe o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis.

8. z = a r c t g x y 2 ,   1 ,   1 , π 4

Passo 1

Para determinarmos uma equação do plano tangente à superfície em um ponto específico devemos, assim como discutido na seção 14.4 do Stewart, determinar:

z - z o = f x x o ,   y o x - x o + f y x o ,   y o y - y o

No qual os valores com subíndice " o " se tratam do ponto dado pelo enunciado. Sendo assim, primeiramente vamos determinar as derivadas parciais no ponto dado:

f x = y 2 1 + x y 2 2 = y 2 1 + x 2 y 4

f x 1 ,   1 = 1 1 + 1 = 1 2

f y = 2 x y 1 + x y 2 2 = 2 x y 1 + x 2 y 4

f y 1 ,   1 = 2.1 . 1 1 + 1 = 1

Passo 2

Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos z o = π 4 , y o = 1 e x o = 1 , saca só:

z - π 4 = 1 2 . x - 1 + 1 . ( y - 1 )

z - π 4 = 1 2 x - 1 2 + y - 1

∴ z = 1 2 + y - 3 2 + π 4

Que é a equação do plano tangente que procurávamos! Plotando o gráfico contendo as duas curvas, teremos:

Onde o plano tangente se encontra em roxo e a superfície se encontra em azul claro. Se dermos zoom:

Resposta

z = 1 2 + y - 3 2 + π 4

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